Tam Alan Örneği

Matematiksel Analiz, matematiksel bilimlerin çalışma ile ilgilenen dalıdır. tam alan, bir tür metrik uzaydır.

Bir metrik uzay nokta çiftlerinden ve aralarındaki uzaklığın bir fonksiyonundan oluşur; bu uzaylarda, bu iki nokta arasındaki giderek daha küçük mesafelerden oluşan bir Cauchy dizisi tanımlamak mümkündür. Metrik uzayda dizide daha küçük bir mesafe bulmak artık mümkün olmadığında, tam alan. Kapalı sayısal kümeler, yani içinde limit olan kümeler tam uzaylardır.

Tam Alan Örneği:

0 da dahil olmak üzere doğal sayılar kümesi, bu küme 0'ın uç noktası tarafından kapatıldığından tam bir boşluktur. Bu sayı kümesinin temsili N= [0, 1, 2,… n}.

Bu kümenin iki elemanı arasındaki herhangi iki noktayı alalım, örneğin 4 ve 8, aşağıdaki şekilde temsil edilir p = (4, 8), iki nokta arasındaki uzaklık fonksiyonu 4'e eşittir, Cauchy dizisi yakınsayan {4, 3, 2, 1, 0} dizisi tarafından verilir. 0.

Başka bir örnek, şu şekilde temsil edilen {0} ile oluşturulan pozitif gerçek sayılar kümesidir. VE⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, bu uzayda iki nokta verildiğinden, Cauchy dizisi, mesafe 0 olduğunda yakınsayacaktır.

Rasyonel sayılar kümesi tam bir boşluk değildir, çünkü 0 mesafesi (sayı olarak 0 Bu kümede vardır) bu da Cauchy dizisini bu dizinin herhangi bir noktasında yakınsak yapmaz. Ayarlamak.

Doğal sayıların herhangi bir kapalı aralığı tam bir uzaydır.