Vad är Maxwells ekvationer och hur definieras de?

Ängel Zamora Ramirez | jul. 2022
Examen i fysik

Före dessa ekvationer sades det att de elektriska och magnetiska krafterna var "krafter på avstånd", inga fysiska medel var kända med vilka denna typ av interaktion skulle ske. Efter många års forskning om elektricitet Y magnetismMichael Faraday menade att det måste finnas något fysiskt i utrymmet mellan laddningarna och de elektriska strömmarna som skulle tillåta dem att interagera med varandra och manifestera alla elektriska och magnetiska fenomen som var kända, han kallade först dessa som "kraftlinjer", vilket ledde till idén om existensen av ett elektromagnetiskt fält.

Med utgångspunkt i Faradays idé, utvecklar James Clerk Maxwell en fältteori representerad av fyra partiella differentialekvationer. Maxwell kallade detta "elektromagnetisk teori" och var den första att inkorporera denna typ av matematiskt språk i en fysikalisk teori. Maxwells ekvationer i deras differentialform för vakuum (det vill säga i frånvaro av dielektriska och/eller polariserbara material) är följande:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maxwells ekvationer för vakuumet i dess differentialform

Där \(\vec{E}~\)är det elektriska fältet, \(\vec{B}~\)är det magnetiska fältet, \(\rho ~\)är densiteten av elektrisk laddning, \(\vec{J}~~\)är en vektor associerad med en elektrisk ström, \({{\epsilon }_{0}}~\)är den elektriska permittiviteten för ett vakuum och \({{\mu }_{0}}}~~\)är den magnetiska permeabiliteten för ett vakuum. Var och en av dessa ekvationer motsvarar a lag av elektromagnetism och har en betydelse. Jag kommer kortfattat förklara var och en av dem nedan.

Gauss lag

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gauss lag för det elektriska fältet

Vad denna första ekvation säger oss är att de elektriska laddningarna är källorna till det elektriska fältet, detta elektriska fält "divergerar" direkt från laddningarna. Dessutom dikteras riktningen för det elektriska fältet av tecknet på den elektriska laddningen som producerar det, och hur nära fältlinjerna är indikerar storleken på själva fältet. Bilden nedan sammanfattar något vad som just har nämnts.

Illustration 1. Från Studiowork.- Diagram över de elektriska fälten som genereras av två punktladdningar, en positiv och en negativ.

Denna lag har sitt namn till matematikern Johann Carl Friedrich Gauss som formulerade den utifrån hans divergenssats.

Gauss lag för magnetfältet

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gauss lag för magnetfältet

Denna lag har inget specifikt namn, men den kallas det på grund av dess likhet med föregående ekvation. Innebörden av detta uttryck är att det inte finns någon "magnetisk laddning" analog med "elektrisk laddning", det vill säga det finns inga magnetiska monopoler som är källan till det magnetiska fältet. Detta är anledningen till att om vi bryter en magnet på mitten kommer vi fortfarande att ha två liknande magneter, både med en nordpol och en sydpol.

Faradays lag

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradays induktionslag

Detta är den berömda induktionslagen formulerad av Faraday när han 1831 upptäckte att föränderliga magnetfält kunde inducera elektriska strömmar. Vad denna ekvation betyder är att ett magnetfält som förändras med tiden kan inducera runt det ett elektriskt fält, som i sin tur kan få elektriska laddningar att röra sig och skapa en ström. Även om detta kan låta väldigt abstrakt till en början, ligger Faradays lag bakom hur motorer, elgitarrer och induktionshällar fungerar.

Ampère–Maxwell lag

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Det första som denna ekvation säger oss är att elektriska strömmar genererar magnetiska fält runt strömmens riktning och att storleken på det genererade magnetfältet beror på storleken på detta, detta var vad Oersted observerade och som senare kunde Ampère formulera. Det finns dock något konstigt bakom denna ekvation, och det är den andra termen på sidan lag av ekvationen introducerades av Maxwell eftersom detta uttryck ursprungligen var inkonsekvent med de andra, i synnerhet, ledde det till ett brott mot lagen om bevarande av elektrisk laddning. För att undvika detta introducerade Maxwell helt enkelt denna andra term så att hela hans teori skulle vara konsekvent, denna term fick namnet "förskjutningsström" och vid den tiden fanns det inga experimentella bevis som stödde det. kommer att säkerhetskopiera

Illustration 2. De Rumruay.- En elektrisk ström som flyter genom en kabel genererar ett magnetfält runt den enligt Ampères lag.

Innebörden av förskjutningsströmmen är att, på samma sätt som ett magnetfält variabel inducerar ett elektriskt fält, ett elektriskt fält som förändras med tiden är kapabelt att generera ett fält magnetisk. Den första experimentella bekräftelsen av förskjutningsströmmen var demonstrationen av existensen av elektromagnetiska vågor av Heinrich Hertz 1887, mer än 20 år efter publiceringen av teorin om Maxwell. Den första direkta mätningen av förskjutningsström gjordes dock av M. R. Van Cauwenberghe 1929.

ljus är en elektromagnetisk våg

En av de första häpnadsväckande förutsägelser som Maxwells ekvationer gör är förekomsten av elektromagnetiska vågor, men inte bara det, de avslöjade också att ljus måste vara en våg av detta Typ. För att se detta lite kommer vi att leka med Maxwells ekvationer, men innan dess är här formen för alla vågekvationer:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Allmän form av en vågekvation i tre dimensioner.

Där \({{\nabla }^{2}}\) är den laplaciska operatorn, \(u\) är en vågfunktion och \(v\) är vågens hastighet. Vi kommer också att arbeta med Maxwells ekvationer i det tomma utrymmet, det vill säga i frånvaro av elektriska laddningar och elektriska strömmar, endast elektriska och magnetiska fält:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Och vi kommer också att använda följande identitet vektorkalkyl:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Om vi ​​tillämpar denna identitet på elektriska och magnetiska fält med Maxwells ekvationer för tomt utrymme ovan får vi följande resultat:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Observera likheten mellan dessa ekvationer och vågekvationen ovan, i slutsats, kan elektriska och magnetiska fält bete sig som vågor (elektromagnetiska vågor). Om vi ​​definierar hastigheten för dessa vågor som \(c\) och jämför dessa ekvationer med vågekvationen ovan kan vi säga att hastigheten är:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) och \({{\epsilon }_{0}}\) är den magnetiska permeabiliteten respektive den elektriska permittiviteten för vakuum, och båda är konstanter universal vars värden är \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) och \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\ gånger {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), om vi ersätter dessa värden har vi att värdet på \(c\) är \(c=299,792,458\frac{m}{s}\approx 300,000~km/s\) vilket är exakt hastigheten för ljus.

Med denna lilla analys kan vi få tre mycket viktiga slutsatser:

1) Elektriska och magnetiska fält kan bete sig som vågor, det vill säga det finns elektromagnetiska vågor som också kan fortplanta sig genom ett vakuum.

2) Ljus är en elektromagnetisk våg vars hastighet beror på den magnetiska permeabiliteten och permittiviteten av mediet genom vilket det utbreder sig, i tomma utrymmen har ljus en hastighet av ungefär 300 000 km/s.

3) Eftersom den magnetiska permeabiliteten och den elektriska permittiviteten är universella konstanter, då Ljushastigheten är också en universell konstant, men detta innebär också att dess värde inte beror på av ramverk från vilken den mäts.

Detta sista uttalande var mycket kontroversiellt på den tiden.Hur är det möjligt att hastigheten på ljuset är detsamma oavsett rörelsen hos personen som mäter det och ljuskällans rörelse. ljus? Hastigheten på något måste vara relativ, eller hur? Tja, detta var en vattendelare för tidens fysik och detta enkla men djupgående faktum ledde till utvecklingen av teorin om speciell relativitet av Albert Einstein 1905.