Пример односа и пропорција

Односе и пропорције, називамо разлог на количник који је означен са два броја и који представља однос између две величине и а пропорција на једнакост која постоји између два или више разлога.

1. Разлог

Однос у облику поделе указује на однос између две величине. Каже нам колико јединица има у односу на остале, а обично се означава поједностављивањем разломака.

На пример, ако у учионици имамо 24 девојчице и 18 дечака, представљаћемо то на један од следећих начина:

24/18
24:18

А пошто разломак можемо поједноставити тако што ћемо га поделити са 6, тада ћемо имати:

4/3
4:3

И гласи да постоји однос 4 према 3 или 4 за свака 3.

Свака од вредности односа има своје име. Позвана је вредност која се налази на левој страни везе претходник, и назива се вредност на десној страни последично.

У овом случају, однос девојчица и дечака је однос 4 према 3, односно 4 девојке на свака 3 дечака.

2. Пропорција

Пропорција означава помоћу једнакости поређење два односа. Да бисмо написали пропорцију, морамо узети у обзир да су претходне вредности увек на истој страни, као и последице.

У нашем примеру у учионици можемо упоредити однос који имамо, 4 девојчице за сваку 3 дечака, а можемо израчунати колико је дечака у соби у односу на број девојчица или и обрнуто. За ово ћемо пре свега написати пропорцију коју већ знамо:

4:3

Тада је знак једнакости

4:3=

А затим укупан износ, на пример онај исте собе, имајући у виду да морамо поштовати редослед претходника и последичног. У нашем примеру, претходник ће бити број девојчица, а последично и број дечака.

4:3=24:18

Да би се проверила једнакост пропорције, спроводе се два множења. У пропорцији ћемо узети знак једнакости као референцу. Бројеви који су најближи називају се центрима, а најудаљенији бројеви су крајности. У нашем примеру су бројеви 3 и 24 најближи знаку једнакости, па су центри. 4 и 18 су крајности. Да би се проверило да ли је пропорција тачна, умножавање центара мора бити једнако умножавању крајности:

3 Х 24 = 72
4 Кс 18 = 72

2.1 Директна пропорција и обрнута пропорција

Пропорције могу изразити односе у којима повећање количине претходника повећава количину последичног. Ова варијација се назива директна пропорција. Горњи пример је директан однос.

У обрнутој пропорцији, повећање количине у претходном, значи смањење количине у последичном.

На пример, у продавници намештаја 6 радника направи 8 столица за 4 дана. Ако желимо да знамо колико је радника потребно за изградњу 8 столица за 1, 2 и 3 дана, користићемо обрнуту пропорцију.

Да бисмо је утврдили, користићемо број радника као претходну цифру, а број дана као следећу цифру:

6:4=

Следећи исти поредак, на другој страни једнакости опет ћемо имати преседан број радника и као последицу дани који ће им требати. Имаћемо нешто попут следећег:

6:4 = ?:3
6:4 = ?:2
6:4 = ?:1

Да бисмо утврдили обрнуту пропорцију, помножићемо факторе познатог односа, у нашем примеру, 6 и 4, а резултат ћемо поделити познатим подацима другог односа. Тако ћемо у нашем примеру имати:

6 Кс 4 = 24
24 / 3 = 8
24 / 2 = 12
24 / 1 = 24

Тако ћемо имати следеће пропорције:

6:4 = 8:3
6:4 = 12:2
6:4 = 24:1

Како можемо израчунати да нам је за производњу 8 фотеља у три дана потребно 8 радника; да бисмо их направили за два дана, потребно нам је 12 радника, а да би их направили за један дан, потребно је 24 радника.

Примери разлога

1. У кутији имамо 45 плавих и 105 црвених куглица. Изражавамо то као 45: 105 и делећи са 15, имамо да је однос 3: 7 (три на сваких седам), односно три плаве кугле на сваких седам црвених куглица.
2. У школском разреду сваку лопту користи сваки тим од петоро деце, односно имамо пет ученика за сваку фудбалску лопту. Тада у овом примеру имамо разлог да је однос између ученика - лоптица 5 према 1. Овај однос је записан 5: 1 и закључујемо да постоји однос пет ученика према свакој фудбалској лопти.
3. На паркингу се налазе аутомобили азијских и америчких фабрика. Укупно има 3060 аутомобила, од којих је 1740 азијске производње, а остатак, 1320, америчке производње. То ће нам дати да је однос 1740/1320. Да бисмо га поједноставили, прво га делимо са 10, што нам оставља 174/132. Ако га сада поделимо са 6, имаћемо однос 29:22, односно на паркингу има 29 азијских аутомобила на свака 22 америчка аутомобила.

Примери пропорција:

Директна пропорција:

1. У продавници се национални и увозни слаткиши продају у омјеру 3: 2 Ако знамо да се дневно продаје 255 националних слаткиша, колико се дневно увезених слаткиша?

3:2=255:?
2 Кс 255 = 510
510/3 = 170 увезених слаткиша.
3: 2 = 255: 170 (три је према два као 255 према 170).

1. Дечаци и девојчице су позвани на забаву. Ако знамо да је на свака 4 дечака присуствовало 6 девојчица, а на забави су 32 дечака, колико је девојчица било?

6:4 = ?:32
32 Кс 6 = 192
192/4 = 48 девојака је отишло на забаву.
6: 4 = 48:32 (6 је 4 као 48 је 32)

1. За састављање стола потребно је 14 вијака. Колико шрафова нам треба за састављање 9 столова?

14:1 = ?:9
14 Кс 9 = 126
126/1 = 126 вијака је потребно.
14: 1 = 126: 9 (14 је према 1 као 126 према 9)

Инверзни однос:

1. Две дизалице померају 50 контејнера за сат и по. Колико је дизалица потребно за померање 50 контејнера за пола сата?

2:1.5 =?:.5
2 Кс 1,5 = 3
3 / .5 = 6 кранова је потребно.
2: 1,5 = 6: .5 (две дизалице су сат и по, као шест дизалица пола сата)

1. Ако 4 ученика ураде тимски рад за 45 минута, колико ће трајати ако тим чини 6, 8, 10 и 12 ученика?

Имаћемо следеће пропорције:

а) 4:45 = 6:?
б) 4:45 = 8:?
в) 4:45 = 10:?
д) 4:45 = 12:?

4 Кс 45 = 180

а) 180/6 = 30 минута
б) 180/8 = 22,5 минута
в) 180/10 = 18 минута
г) 180/12 = 15 минута

Дакле, пропорције ће бити:

а) 4:45 = 6:30
б) 4:45 = 8: 22,5
в) 4:45 = 10:18
г) 4:45 = 12:15

• Настави да читаш: Једноставно правило три.