Пример биномног квадрата

Бином је алгебарски израз који се састоји од два члана који се сабирају или одузимају. Заузврат, ови изрази могу бити позитивни или негативни.

А. биномни на квадрат је алгебарски збир који се сам додаје, односно ако имамо бином а + б, квадрат тог бинома је (а + б) (а + б) и изражава се као (а + б)².

Умножак квадратног бинома назива се савршеним квадратним триномом. Назива се савршеним квадратом, јер је резултат његовог квадратног корена увек бином.

Као и код свих алгебарских множења, резултат се добија множењем сваког од чланова првог члана са условима другог и додавањем заједничких чланова:

Када квадрирамо бином: к + з, множење ћемо обавити на следећи начин:

(к + з)² = (к + з) (к + з) = (к) (к) + (к) (з) + (з) (к) + (з) (з) = к²+ кз + кз + з² = к²+ 2кз + з²

Ако је бином к - з, тада ће операција бити:

(к - з)² = (к - з) (к - з) = (к) (к) + (к) (–з) + (–з) (к) + (з) (з) = к²–Ксз - кз + з² = к²–2кз + з²

Овде је згодно запамтити неке важне тачке:

Сваки квадрат на квадрат увек као резултат даје позитиван број: (а) (а) = а²; (–А) (–а) = а²

Сваки експонент подигнут у степен помножава се снагом у који је подигнут. У овом случају, сви експоненти на квадрат множе се са 2: (а³)² = а⁶; (–Б⁴)² = б⁸

Резултат квадратног бинома је увек а савршени квадратни трином. Ове врсте операција називају се значајни производи. У изванредним производима резултат се може добити инспекцијом, односно без обављања свих радњи у једначини. У случају квадратног бинома, резултат се добија уз следећа правила инспекције:

1. Написаћемо квадрат првог члана.
2. Два пута ћемо додати први за други мандат.
3. Додаћемо квадрат другог члана.

Ако применимо ова правила на примере које смо горе користили, имаћемо:

(к + з)²

1. Написаћемо квадрат првог члана: х²
2. Двоструко ћемо додати први по други члан: 2кз
3. Додаћемо квадрат другог члана: з².

Резултат је: х²+ 2кз + з²

(к - з)²

1. Написаћемо квадрат првог члана: х².
2. Двоструко ћемо додати први по други члан: –2кз.
3. Додаћемо квадрат другог члана: з².

Резултат је к²+ (- 2кз) + з² = к²–2кз + з²

Као што видимо, у случају да је операција множења првог са другим чланом негативан резултат, иста је као и директно одузимање резултата. Запамтите да ће додавањем негативног броја и смањењем знакова резултат бити одузимање броја.

Примери бинома на квадрат:

 (4к³ - 2 и²)²

Квадрат првог члана: (4к³)² = 16к⁶
Двоструки производ првог и другог: 2 [(4к³) (- 2 и²)] = –16к³И.²
Квадрат другог члана: (2г²)² = 4и⁴
(4к³ - 2 и²)² = 16к⁶ –16к³И.²+ 4 год⁴
(5.³Икс⁴ - 3б⁶И.²)² = 25а⁶Икс⁸ - 30-ог³б⁶Икс⁴И.²+ 9б¹²И.⁴
(5.³Икс⁴ + 3б⁶И.²)² = 25а⁶Икс⁸ + 30а³б⁶Икс⁴И.²+ 9б¹²И.⁴
(- 5³Икс⁴ - 3б⁶И.²)² = 25а⁶Икс⁸ + 30а³б⁶Икс⁴И.²+ 9б¹²И.⁴
(- 5³Икс⁴ + 3б⁶И.²)² = 25а⁶Икс⁸ - 30-ог³б⁶Икс⁴И.²+ 9б¹²И.⁴
(6мк + 4ни)² = 36м²н² + 48мнки + 16н²И.²
(6мк - 4ни)² = 36м²н² - 48мнки + 16н²И.²
(–6мк + 4ни)² = 36м²н² - 48мнки + 16н²И.²
(–6мк - 4ни)² = 36м²н² + 48мнки + 16н²И.²
(4вт - 2аб)² = 16в²т² - 16абвт + 4а²б²
(–4вт + 2аб)² = 16в²т² - 16абвт + 4а²б²
(–4вт - 2аб)² = 16в²т² + 16абвт + 4а²б²
(4вт + 2аб)² = 16в²т² + 16абвт + 4а²б²
(3к⁵ + 8)² = 9к¹⁰ + 48к⁵ + 64
(- 3к⁵ – 8)² = 9к¹⁰ + 48к⁵ + 64
(- 3к⁵ + 8)² = 9к¹⁰ - 48к⁵ + 64
(3к⁵ – 8)² = 9к¹⁰ - 48к⁵ + 64
(3.³б - 3аб³)² = 9а⁶б² - 18⁴б⁴ + 9а²б⁶
(3.³б + 3аб³)² = 9а⁶б² + 18а⁴б⁴ + 9а²б⁶
(- 3³б - 3аб³)² = 9а⁶б² + 18а⁴б⁴ + 9а²б⁶
(–3а³б + 3аб³)² = 9а⁶б² - 18⁴б⁴ + 9а²б⁶
(2а - 3б²)² = 4а² + 12 аб² + 9б⁴
(2а + 3б²)² = 4а² + 12 аб² + 9б⁴
(–2а + 3б²)² = 4а² - 12 апр² + 9б⁴
(2а - 3б²)² = 4а² - 12 апр² + 9б⁴