Kako je definiran Thalesov izrek?

Iz Thalesovega izreka je za več vzporednih premic rečeno, da je premica \(T\) prečna na vzporedne premice, če seka vsako od vzporednih premic.

Na sliki 1 sta premici \({T_1}\) in \({T_2}\) prečni na vzporednici \({L_1}\) in \({L_2}.\)

Thalesov izrek (šibka različica)
Če več vzporednic določa skladne segmente (ki merijo enako) v eni od svojih dveh prečnic, bodo določale tudi skladne segmente v drugih transverzalah.

Na sliki 2 sta črni črti vzporedni in morate:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Zagotovimo lahko naslednje:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Rečeno je, da je modri Thales iz Mileta izmeril višino Keopsove piramide, za to je uporabil sence in uporabo lastnosti podobnosti trikotnika. Thalesov izrek je temeljni za razvoj koncepta podobnosti trikotnikov.

Razmerja in lastnosti proporcev

Eno razmerje je količnik dveh števil z deliteljem, ki ni nič; se pravi:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{z\;}}b \ne 0\)

Delež je enakost dveh razmerij, to je:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) imenujemo tudi konstanta sorazmernosti.

Lastnosti proporcev

Če \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), potem je za \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{{c \pm d}}{d}\)

primeri

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Za par odsekov \(\overline {AB} \) in \(\overline {CD} \) pravimo, da je sorazmeren z odsekoma \(\overline {EF} \) in \(\overline {GH} \) če je delež izpolnjen:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Kjer \(AB\;\) označuje dolžino segmenta \(\overline {AB} .\)

Thalesov izrek

Če se vrnemo k definiciji, več vzporednic določa sorazmerne ustrezne segmente v svojih prečnih črtah.

Na sliki 3 sta ravni črti vzporedni in lahko zagotovimo:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Upoštevajte, da sta prva dva predhodna razmerja enakovredna naslednjim razmerjem:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Zgoraj dobimo:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

V mnogih primerih je bolje delati s prejšnjimi razmerji in v tem primeru:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Obrat Thalesovega izreka

Če več premic določa sorazmerne ustrezne odseke v svojih prečkah, so premice vzporedne

Če je na sliki 4 izpolnjeno

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Potem lahko potrdimo, da: \({L_1}\vzporedno {L_2}\vzporedno {L_3}.\)

Zapis \({L_1}\parallel {L_2}\), beri \({L_1}\) je vzporeden z \({L_2}\).

Iz prejšnjega deleža dobimo:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Razdelitev segmenta na več enako dolgih delov

Na konkretnem primeru bomo prikazali, kako odsek razdelimo na enako dolge dele.

Odsek \(\overline {AB} \) razdelite na 7 enako dolgih odsekov

Začetno stanje

Narišite pomožno črto, ki poteka skozi enega od koncev segmenta

S pomočjo šestila na pomožni črti narišemo 7 enako dolgih odsekov

Narišite črto, ki povezuje konca zadnjega narisanega segmenta in drugi konec segmenta, ki ga želite razdeliti

Narisane so vzporedno z zadnjo pravkar narisano črto, ki poteka skozi točke, kjer se loki oboda sekajo s pomožno črto.

Glede na odsek \(\overline {AB} \) pravimo, da točka \(P\) odseka deli odsek \(\overline {AB} \) v razmerju \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Delitev segmenta v danem razmerju

Podan je segment \(\overline {AB} \) in dve pozitivni celi števili \(a, b\); točko \(P\), ki deli odsek v razmerju \(\frac{a}{b};\;\), lahko najdete na naslednji način:

1. Odsek \(\overline {AB} \) razdelite na enako dolge odseke \(a + b\).
2. Vzemite \(a\) segmente, ki se štejejo od točke \(A\).

primeri

Delitev odseka \(\overline {AB} \) v razmerju \(\frac{a}{b}\)

Razlog	Število delov, na katere je segment razdeljen	Lokacija točke \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Uporabni primeri Thalesovega izreka

aplikacija 1: Tri parcele se raztezajo od ulice Sol do ulice Luna, kot je prikazano na sliki 5.

Stranske meje so segmenti, pravokotni na Luna Street. Če skupno pročelje parcel na ulici Sol meri 120 metrov, določite pročelje vsake parcele na navedeni ulici, če je znano tudi:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Izjava o težavi

Ker sta črti pravokotni na Luna Street, potem sta med seboj vzporedni, z uporabo Thalesovega izreka lahko trdimo:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\) Od zgoraj navedenega lahko sklepamo:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Podobno lahko sklepamo:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

rešitev

Za določitev konstante sorazmernosti \(k,\) bomo uporabili lastnosti proporcev:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Iz zgoraj navedenega dobimo:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\levo( {10} \desno) = 12.\)

Analogno:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\levo( {40} \desno) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\levo( {20} \desno) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\levo( {30} \desno) = 36\)

Odgovori

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Dolžina	12m	48m	24m	36m

aplikacija 2: Grafični oblikovalec je oblikoval polico v obliki paralelograma in bo postavil 3 police, kot je prikazano na Slika 6, točki E in F sta razpolovišči stranic \(\overline {AD} \) in \(\overline {BC} ,\) oz. Na policah morate narediti reze, da lahko sestavite. Na katerem delu polic je treba narediti reze?

Postavitev problema: Zaradi pogojev, ki so podani v nalogi, je izpolnjeno:

\(ED = EA = CF = BF\)

Kot pomožne konstrukcije bomo razširili stranice \(\overline {CB} \) in \(\overline {DA} \). Skozi točko A skozi \(A\) in vzporedno s stranico \(\overline {EB} \) je narisana črta, skozi točko \(C\;\) pa je črta vzporedna s stranico \(\overline {DF} \).

Uporabili bomo obrat Thalesovega izreka, da pokažemo, da sta segmenta \(\overline {EB} \) in \(\overline {DF} \) vzporedna, da bi lahko uporabili Thalesov izrek.

rešitev

Po konstrukciji je štirikotnik \(EAIB\) paralelogram, tako da imamo EA=BI, saj sta nasprotni strani paralelograma. Zdaj:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Z uporabo recipročne vrednosti Thalesovega izreka lahko sklepamo:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Če vzamemo odseke \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) in odseke BC in CI kot njihove transverzale; kot:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Če vzamemo \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) in segmente \(\overline {AC} \) in \(\overline {EB} \) kot njihove transverzale, bomo imeli:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\levo( {AG} \desno)}} = \frac{1}{2}\)

Podobno je prikazano, da:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

odgovori

Diagonalne reze \(\overline {AC} \) je treba narediti v točkah \(G\;\) in \(H\), tako da:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Enako velja za police \(\overline {EB} \) in \(\overline {DF} \).