Opredelitev mešanih, enotnih, homogenih in heterogenih frakcij

Mešano. Mešani ulomek je sestavljen iz celega števila, večjega ali enakega ena, in pravilnega ulomka, splošnega črkovanja ulomka mešana je v obliki: \(a + \frac{c}{d},\), katere strnjena pisava je: \(a\frac{c}{d},\;\), to je: \(a\ ulomek{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Število \(a\) imenujemo celoštevilski del mešanega ulomka, \(\frac{c}{d}\) pa njegov ulomek.

homogena. Če imata dva ali več ulomkov enak imenovalec, pravimo, da so podobni ulomkom. Na primer, ulomki \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) so homogeni, ker imajo vsi enak imenovalec, ki je v tem primeru \(4\). Medtem ko ulomki \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) niso homogenih ulomkov, saj je imenovalec \(\frac{5}{2}\) \(2\) in imenovalec drugih ulomkov je \(4\). Ena od prednosti homogenih ulomkov je, da so aritmetične operacije seštevanja in odštevanja funkcij zelo preproste.

heterogena. Če dva ali več ulomkov, od katerih vsaj dva nimata enakega imenovalca, se ti ulomki imenujejo heterogeni ulomki. Naslednji ulomki so heterogeni: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

enoten. Ulomek je opredeljen kot enota, če je števec enak 1 \(1,\) \(2\). Naslednji ulomki so primeri enotskih ulomkov: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Besedno izražanje mešanega ulomka

mešana frakcija	Verbalno izražanje
\(3\frac{1}{2} = \)	Tri in pol cele
\(5\frac{3}{4} = \)	Pet celih števil in tri četrtine
\(10\frac{1}{8} = \)	Deset celih števil z osmino

Pretvarjanje mešanega ulomka v nepravi ulomek

Mešani ulomki so uporabni za ocenjevanje, na primer enostavno jih je ugotoviti:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Vendar so mešani ulomki običajno nepraktični za izvajanje operacij, kot sta množenje in deljenje, zato je pomembno, kako pretvoriti v mešani ulomek.

Prejšnja slika predstavlja mešani ulomek \(2\frac{3}{4}\), zdaj pa je vsako celo število sestavljeno iz štiri četrtine, torej je v 2 celih številih 8 četrtin in tem moramo prišteti ostale 3 četrtine, tj. reci:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \desno) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Na splošno:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Naslednja tabela prikazuje druge primere.

mešana frakcija	Operacije za izvedbo	nepravilni ulomek
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\levo( 2 \desno) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\levo( 4 \desno) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\levo( 8 \desno) + 1}}{8}\)	\(\frac{{{81}}{8}\)

Pretvorba nepravilnega ulomka v mešani ulomek

Če želite pretvoriti nepravilni ulomek v mešani ulomek, izračunajte količnik in preostanek deljenja števca z imenovalcem. Dobljeni količnik bo celoštevilski del mešanega ulomka, pravi ulomek pa \(\frac{{{\rm{ostanek}}}}{{{\rm{denominator}}}}\)

Primer

Če želite pretvoriti \(\frac{{25}}{7}\) v mešani ulomek:

Za izvedene operacije pridobimo:

Spodnja tabela prikazuje druge primere.

nepravilni ulomek	Izračun količnika in ostanka	nepravilni ulomek
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Vsakodnevna uporaba mešanih in pravih ulomkov

V vsakdanjem življenju moramo meriti, kupovati, primerjati cene, ponujati popuste; za merjenje potrebujemo merske enote in ne ponujajo vedno celih enot izdelkov in ne plačate vedno s celotno količino kovancev na enoto.

Na primer, običajno je, da se nekatere tekočine prodajajo v posodah, katerih vsebina je \(\frac{3}{4}\;\) litra, pol galone ali galone in pol. Morda, ko greš kupit zračnico, zahtevaš \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) in ni vam treba povedati merske enote, ki je v tem primeru palec.

Osnovne operacije podobnih ulomkov

Vsota \(\frac{3}{4}\) in \(\frac{2}{4}\) je ponazorjena v naslednji shemi:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Medtem ko se odštevanje izvede na naslednji način:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Na splošno za homogene frakcije:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{{a – b}}{d}\)

Egipčani in ulomki

Egipčanska kultura je dosegla izjemen tehnološki razvoj in tega ne bi bilo brez razvoja, ki bi bil enak matematičnemu. Obstajajo zgodovinski ostanki, kjer lahko najdete zapise o uporabi ulomkov v egipčanski kulturi, s posebnostjo, da so uporabljali samo enotne ulomke.

Obstaja več primerov, ko je zapis ulomka kot vsote enotskih ulomkov tako preprost kot

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

V primeru, da je \(n = 2q + 1\), to je liho, imamo to:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \desno)}}\)

To bomo ponazorili z dvema primeroma.

Za izražanje \(\frac{2}{{11}}\); v tem primeru imamo \(11 = 2\levo( 5 \desno) + 1\), torej:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\levo( 6 \desno)}},\)

se pravi,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Za izražanje \(\frac{2}{{17}}\); v tem primeru imamo \(17 = 2\levo( 8 \desno) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Nato prikažemo nekaj ulomkov kot vsoto enotskih ulomkov,

Ulomek	Izraz kot vsota enotskih ulomkov	Ulomek	Izraz kot vsota enotskih ulomkov
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

S pomočjo prejšnje tabele lahko seštejemo ulomke in izrazimo take vsote; kot vsota enotskih ulomkov.

Primeri heterogenih frakcij

Primer 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \levo( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \desno) + \levo ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \desno)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \levo( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \desno) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Primer 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \levo( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \desno) + \levo ({\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \desno)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Končno lahko isti ulomek izrazimo kot vsoto enotskih ulomkov na drugačen način kot:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)