Príklad najmenej spoločného násobku

Najmenší spoločný násobok, predstavovaný skratkou m.c.m., z dvoch alebo viacerých čísel, je najmenší z bežných násobkov uvedených čísel, iný ako nula. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť m.c.m. dvoch alebo viacerých čísel je rozložiť každé z čísel na jeho hlavné faktory. Najmenší spoločný násobok sa teda rovná súčinu všetkých bežných a neobvyklých faktorov s ich najväčším exponentom. Analyzujeme nasledujúci príklad najmenej spoločného násobku, aby sme objasnili myšlienku:
1) Nech sú dve lode, ktoré vyplávajú spolu z Mexico City. Jeden odletí znova do dvanástich (12) dní a druhý do štyridsať (40) dní. Otázkou je, koľko dní bude trvať, kým obe lode spolu odplávajú?
V tomto príklade musíme nájsť najmenší spoločný násobok 12 a 40. Aby sme to dosiahli, rozložíme každé z týchto čísel na jeho hlavné faktory.
Nie. Hlavné faktory
12 2
6 2
3 3
1
Nie. Hlavné faktory
40 2
20 2
10 2
5 5
1
V tomto príklade predstavuje rozklad čísla na jeho prvočíselné faktory vydelenie každého z nich najmenším prvočíslom, ktoré ho presne rozdeľuje. Dospievame teda k týmto záverom:

12 = 2 x 2 x 3, alebo čo je to isté 12 = 2 na druhú (2) x3 r
40 = 2 x 2 x 2 x 5, alebo čo je rovnaké 40 = 2 kocky (3) x5
Najmenej spoločný násobok je produktom bežných a neobvyklých faktorov s ich najväčším exponentom, tj. M.c. z 12 a 40 = 2 zdvihnuté kocky x 3 x 5, m.c. z 12 a 40 = 120, takže správna odpoveď pre tento príklad je, že lode sa znova spoja do 120 dni.

Ďalší príklad najmenej spoločného násobku:

2) Dvaja profesionálni cyklisti hrajú súťaž na trati velodromu. Prvému prejde úplné kolo 32 sekúnd a druhému 48 sekúnd. Ako často sa o niekoľko sekúnd stretnú v počiatočnom bode?
Príklad je podobný predchádzajúcemu, takže musíme rozložiť 32 a 48 na ich hlavné faktory.
Počet hlavných faktorov
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
Počet hlavných faktorov
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
Preto 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2, čo je 32 = 2 zvýšené na piatu (5), a 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3, čo je 48 = 2 zvýšené na štvrté (4) x 3 .
Pretože najmenší spoločný násobok sa rovná producentu bežných a neobvyklých faktorov s ich najväčším exponentom, máme to, že m.c.m 32 a 48 = 2 sa zvýšili na piate x3. Najmenší spoločný násobok 32 a 48 = 96, takže odpoveď na tento príklad je, že dvaja cyklisti sa opäť stretnú v počiatočnom bode o 96 sekúnd.
3) V banke sú bezpečnostné alarmy programované efektívne. Prvý bude znieť každých 10 sekúnd, druhý každých 15 sekúnd a posledný každých 20 sekúnd. Koľko sekúnd sa spoločne spustia alarmy?
Úvaha je podobná ako v predchádzajúcich príkladoch, musíme vypočítať najmenší spoločný násobok 10, 15 a 20. Za týmto účelom vykonáme rozklad je jeho hlavným činiteľom troch čísel.
Počet hlavných faktorov
10 2
5 5
1
Počet hlavných faktorov
15 3
5 5
1
Počet hlavných faktorov
20 2
10 2
5 5
1
Máme 10 = 2 x 5, 15 = 3 x 5 a 20 = 2 na druhú (2) x 5. Najmenší spoločný násobok 10, 15 a 20 = 2 na druhú (2) x 3 x 5 = 60. Odpoveď na tento príklad je, že všetky tri alarmy zaznejú spolu za 60 sekúnd (jednu minútu).
Pamätajte, že prvočísla sú čísla, ktoré sú deliteľné iba medzi jednotou (1) a nimi.