Definiția fracțiilor echivalente

Se spune că două sau mai multe fracții sunt echivalente dacă reprezintă aceeași cantitate, adică dacă
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
se spune că fracțiile \(\frac{a}{b}\) și \(\frac{c}{d}\) sunt echivalente.

Fracții echivalente: Reprezentare grafică

Luați în considerare pătratul, pe care îl vom împărți în pătrimi, treimi, optimi și doisprezece.

Din figurile anterioare observăm următoarele echivalențe:

Cum se obține una sau mai multe fracții echivalente?

Există două metode de bază pentru obținerea unei fracții echivalente cu o fracție dată.

1. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr pozitiv.

Exemple:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{{30}}{{56}} \)

2. Este împărțit la același divizor comun pozitiv al numărătorului și numitorului.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{{52 ​​\div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Când într-o fracție atât numărătorul, cât și numitorul sunt împărțite la același divizor comun, altul decât 1, se spune că fracția a fost redusă.

fracții ireductibile

O fracție se numește fracție ireductibilă dacă cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului este egal cu 1.

Dacă \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) fracția \(\frac{a}{b}\) se numește fracție ireductibilă.

Dată o fracție \(\frac{a}{b}\) pentru a obține o fracție echivalentă cu această fracție și care este, de asemenea, o fracție ireductibilă, numărătorul și numărătorul sunt împărțite la cel mai mare divizor comun al lui \(a\;\) și al lui \(b.\)

Următorul tabel prezintă exemple de fracții ireductibile și reductibile; dacă este reductibilă, arată cum se obține o fracție echivalentă ireductibilă.

Fracțiune	Cel mai mare divizor comun	Ireductibil	fracție echivalentă ireductibilă
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Nu	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Da	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Nu	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Da	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Nu	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Fracții echivalente: reprezentare verbală.

Următorul tabel prezintă două moduri diferite de a afișa informații echivalente, din punct de vedere numeric.

Fraza verbală	Expresie echivalentă (numeric)	Argumentare
În 1930, în Mexic, 4 persoane din 25 de persoane vorbeau o limbă maternă.	În 1930, în Mexic, 16 oameni din 100 de oameni vorbeau o limbă maternă.	Ambele date au fost înmulțite cu 4
În 1960, în Mexic, 104 oameni din 1.000 de oameni vorbeau o limbă maternă.	În 1960, în Mexic, 13 persoane din 125 de persoane vorbeau o limbă maternă	Ambele date au fost împărțite la 8.

Fracții echivalente: Reprezentare zecimală

Tabelul de mai jos prezintă diverse numere zecimale și fracții echivalente care le reprezintă.

Numar decimal	Fracțiune	fracție echivalentă	Operațiuni
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Fracții echivalente: reprezentare ca procent

Tabelul de mai jos prezintă diverse numere zecimale și fracții echivalente care le reprezintă.

Numar decimal	Fracțiune	fracție echivalentă	Operațiuni
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Fracții echivalente: de la eterogene la omogene

Având în vedere două fracții eterogene \(\frac{a}{b}\) și \(\frac{c}{d}\), putem găsi două fracții omogenă în așa fel încât o fracție să fie echivalentă cu fracția \(\frac{a}{b}\;\), iar cealaltă cu \(\frac{c}{d}\).

În continuare, vom arăta două proceduri pentru a efectua ceea ce este menționat în paragraful anterior.

Să observăm:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left(d \right)}}{{b\left(d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left(b \right)}}{{d\left(b \right)}}\)

Următorul tabel prezintă câteva exemple.

F. eterogen	Operațiuni	F. omogen
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{{126}}{{216}},\) \(\frac{{{48}}{{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left({10} \right)\left( 4 \right)}}{{{14\left({10} \right)\left(4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{{120}}{{560}},\) \(\frac{{{{700}}{{560}}\)

Dezavantajul acestei metode este că în proces pot fi produse un număr foarte mare; În multe cazuri este posibil să se evite, dacă se calculează cel mai mic multiplu comun al numitorilor și a doua metodă se bazează pe calculul celui mai mic multiplu comun.

Cel mai mic multiplu comun în calcularea fracțiilor

În continuare, prin două exemple, cum se obțin fracții omogene folosind cel mai mic multiplu comun al numitorilor, care va fi numitorul comun al fracțiilor implicate.

Luați în considerare fracțiile: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Cel mai mic multiplu comun al \(12\) și \(18\) este \(36\); acum

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Acum luați în considerare fracțiile: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Cel mai mic multiplu comun al \(10\), \(14\) și \(3\) este \(140\); acum

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} {{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Din cifrele anterioare observăm următorul fapt:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Iată și alte exemple.

F. eterogen	min numitori comuni	Operațiuni	F. omogen
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{{{40}}{{90}}\)