Definiția Non-Euclidean Geometry

Practic, geometriile non-euclidiene sunt cele care decurg din chestionarea așa-numitelor al 5-lea postulat al lui Euclid, prin urmare, este esențială o caracterizare generală a operei lui Euclid, care a fost un matematician și geometru grec, a cărui lucrare este paradigmatică pentru Geometrie, pentru a fi considerat unul dintre fondatorii săi. Se stie cu certitudine Securitate care a locuit în orașul Alexandria, un focar cultural al antichității, în jurul anului 300 î.Hr. c.

Munca lui Elemente începe cu o serie de „principii”, alcătuită dintr-o listă de 23 de definiții; urmat de 5 postulate, referitor la

cifre specific geometric; și 5 axiome generale, comune altor discipline matematice. În continuare, după principii, Euclid introduce „propozițiile”, de două tipuri: probleme, referite la clădire de figuri cu rigla si busola; și teoreme, referitoare la demonstrarea proprietăților pe care unii figuri geometrice.

al cincilea postulat al lui Euclid

El afirmă că „Dacă o linie dreaptă care cade pe alte două drepte face unghiurile interioare ale aceleiași laturi mai mici decât două linii drepte, atunci, dacă cele două linii sunt prelungite la infinit, ele se întâlnesc pe partea pe care unghiurile sunt mai mici de două Drept”. Dacă unghiurile ar fi drepte, atunci astfel de drepte, conform definiției nr. 23, ar fi paralele ("Liniile paralele sunt drepte care, dacă sunt în același plan și sunt prelungite la infinit, nu se întâlnesc în nicio direcție.”).

Acest postulat, mai complex decât precedentele, nu era în sine indubitabil: nu era evident că, prelungind linii la infinit, ele s-ar intersecta pe partea în care unghiurile au fost mai mici de două unghiuri drepte, deoarece nu ar fi posibil să se dovedească prin clădire. Apoi, posibilitatea ca liniile să se apropie una de cealaltă la nesfârșit fără să se intersecteze vreodată a fost lăsată deschisă.

Încercări de a demonstra al cincilea postulat

Tocmai din acest motiv, din Antichitate și până la mijlocul secolului al XIX-lea, a existat un șir de încercări eșuate de a demonstra postulatul al cincilea: o dovadă a fost întotdeauna realizată; dar introducând un alt postulat suplimentar (echivalent logic cu al cincilea), diferit de cele ale lui Euclid. Adică al cincilea postulat nu a putut fi dovedit, ci a fost înlocuit cu unul echivalent.

Un exemplu în acest sens este postulatul lui John Playfair (s. XVIII): „Un singur punct paralel cu acea dreaptă trece printr-un punct din afara unei linii care se află în același plan." (cunoscut ca "postulat paralel”). Geometriile non-euclidiene apar tocmai din încercările eșuate de a demonstra postulatul al cincilea al sistemului euclidian.

Testul de absurditate al lui Saccheri

În 1733, matematicianul italian Girolamo Saccheri a încercat să demonstreze absurditatea celui de-al cincilea postulat al lui Euclid. Pentru a face acest lucru, a construit un patrulater (cunoscut sub numele de „patrulaterul lui Saccheri”, în care o pereche de unghiuri sunt unghiuri drepte) și a afirmat că al cincilea postulat este echivalent cu propoziția că unghiuri caracteristice (cele opuse perechii de unghiuri drepte) acelui patrulater sunt de asemenea unghiuri drepte. apoi sunt trei ipoteză posibil, excluzându-se reciproc: că cele două unghiuri caracteristice sunt drepte, acute sau obtuze. Pentru a demonstra al cincilea postulat prin absurd, a fost necesar să se demonstreze (fără a recurge la al cincilea postulat) că ipotezele unghiului obtuz și acut implicau contradicție și, prin urmare, au fost fals.

Saccheri a reușit să demonstreze că ipoteza unghiului obtuz este contradictorie, dar nu a reușit în cazul unghiului ascuțit. Dimpotrivă, el a dedus o serie de teoreme compatibile și incompatibile cu geometria euclidiană. În cele din urmă, a concluzionat că, având în vedere ciudatenia acestor teoreme, ipoteza trebuie să fie falsă. În consecință, el a crezut că a dovedit al cincilea postulat absurd; cu toate acestea, ceea ce a făcut a fost să demonstreze din neatenție un set important de teoreme de geometrie non-euclidiană.

Descoperirea „simultană” a geometriilor non-euclidiene

Carl F. Gauss, în secolul al XIX-lea, a fost primul care a bănuit că al cincilea postulat nu putea fi dovedit din celelalte patru (adică că a fost independent) și în conceperea posibilității unei geometrii non-euclidiene care să se bazeze pe cele patru postulate euclidiene și pe negația a cincea. Nu și-a publicat niciodată descoperirea: acesta este considerat un caz de descoperire simultană, pentru că a avut trei referenți independenți (Gauss însuși, János Bolyai și Nikolai Lobachevsky).

Negarea către a cincea lege de Euclidean implică două posibilități (preluând formula echivalentă a Playfair): printr-un punct din afara unei linii drepte, fie nicio trecere paralelă, fie mai mult de o trecere paralelă. Printre geometriile non-euclidiene găsim, de exemplu, geometria "imaginar” de Lobaciovski, cunoscut mai târziu sub numele de „hiperbolic"- conform, "Având în vedere un punct exterior unei drepte, prin acel punct trec drepte infinite care se intersectează, linii neintersectate infinite și numai două drepte paralele.”, spre deosebire de paralela euclidiană unică; sau geometria eliptică a lui Bernhard Riemann, care afirmă că „Printr-un punct din afara unei linii nu trece nicio paralelă cu acea dreaptă.”.

Aplicații și implicații ale descoperirii

În prezent, se știe că, în spațiul local, ambele geometrii dau rezultate aproximative. Diferențele apar atunci când spațiul fizic este descris printr-o geometrie sau alta, având în vedere distanțe mari. Deși continuăm să folosim geometria euclidiană, deoarece este cea care descrie cel mai simplu spațiul nostru la scară locală, descoperirea a geometriilor non-euclidiene a fost decisivă în măsura în care a însemnat o transformare radicală a înțelegerii adevărurilor științific.

Până atunci, se credea că geometria euclidiană descrie cu adevărat spațiul. Atunci când se demonstrează posibilitatea descrierii lui printr-o altă geometrie, cu alte postulate, a fost necesar să se regândească criteriile prin care era posibil să ne asumăm o explicație sau alta precum „Adevărat”.

Bibliografie

MARTINEZ LORCA, A. (1980) „Etica lui Socrate și influența lor asupra gând Occidental”, în Revista Baética: Estudios de Arte, Geografie şi Istorie, 3, 317-334. Universitatea din Malaga.

Subiecte de geometrie non-euclidiană