Definição de Progressão Aritmética

Uma sequência de números \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​é chamada de progressão aritmética se a diferença entre dois números consecutivos for igual ao mesmo número \(d\), isso sim:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

O número \(d\) é chamado de diferença da progressão aritmética.

O elemento \({a_1}\) é chamado de primeiro elemento da sequência aritmética.

Os elementos da progressão aritmética podem ser expressos em termos do primeiro elemento e sua diferença, ou seja:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Eles são os quatro primeiros elementos da progressão aritmética; Em geral, o elemento \(k – \)th é expresso da seguinte forma:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Da expressão acima obtemos:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

A expressão acima é equivalente a:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Exemplos aplicados à progressão aritmética

1. Encontre a diferença da progressão aritmética: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​e encontre os elementos \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Solução

Como \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) podemos concluir que a diferença é:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. Em uma progressão aritmética temos: \({a_{17}} = 20\;\)e \({a_{29}} = – 130\), determine a diferença da progressão aritmética e escreva os 5 primeiros elementos.

Solução

Vestindo

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \esquerda( {29 – 17} \direita) d\)

\( – 130 – 20 = \left( {12} \right) d\)

\( – 150 = \left( {12} \right) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Para encontrar os primeiros 5 elementos; vamos calcular \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Os 5 primeiros elementos são:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Números poligonais e a soma dos primeiros \(n\) elementos de uma progressão aritmética

números triangulares

Os números triangulares \({T_n}\;\) são formados a partir da progressão aritmética: \(1,2,3,4 \ldots \); da seguinte maneira.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

números quadrados

Os números quadrados \({C_n}\;\) são formados a partir da progressão aritmética: \(1,3,5,7 \ldots \); da seguinte maneira

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

números pentagonais

Os números quadrados \({P_n}\;\) são formados a partir da progressão aritmética: \(1,3,5,7 \ldots \); da seguinte maneira

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

A seguir, mostraremos a fórmula para encontrar a soma dos primeiros \(n\) elementos de uma progressão aritmética.

Dada a progressão aritmética, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). Para calcular a soma \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) você pode usar a fórmula:

\({S_n} = \frac{{n\esquerda( {{a_1} + {a_n}} \direita)}}{2}\)

que é equivalente a

\({S_n} = \frac{{n\esquerda( {2{a_1} + \esquerda( {n – 1} \direita) d} \direita)}}{2}\)

Aplicando a fórmula anterior, obtêm-se as fórmulas para calcular os números triangulares, quadrados e pentagonais; que são mostrados na tabela a seguir.

número poligonal	\({a_1}\)	\(d\)	Fórmula
Triangular \(n – \)º	1	1	\({T_n} = \frac{{n\esquerda( {n + 1} \direita)}}{2}\)
Quadrado \(n – \)º	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Pentagonal \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\esquerda( {3n – 1} \direita)}}{2}\)

Exemplo de números poligonais

3. A partir do exemplo 2 calcule \({S_{33}}\).

Solução

Neste caso \({a_1} = 200\) e \(d = – \frac{{25}}{2}\)

aplicando

\({S_n} = \frac{{n\esquerda( {2{a_1} + \esquerda( {n – 1} \direita) d} \direita)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \direita)} \direita)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\esquerda( {400 + 16\esquerda( { – 25} \direita)} \direita) = 17\esquerda( 0 \direita) = 0\)

meios aritméticos

Dados dois números \(a\;\) e \(b,\) os números \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) são chamados de \(k\) significa números aritméticos \(a\;\) e \(b\); se a sequência \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) é uma progressão aritmética.

Para saber os valores das \(k\) médias aritméticas dos números \(a\;\) e \(b\), basta saber a diferença da progressão aritmética, para isso o seguinte deve ser considerado:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Do exposto, estabelecemos a relação:

\(b = a + \esquerda( {k + 2 – 1} \direita) d\)

Resolvendo para \(d\), obtemos:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

exemplos

4. Encontre 7 médias aritméticas entre os números -5 e 25.

Solução

Ao aplicar

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

com \(b = 25,\;a = – 5\) e \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

As 7 médias aritméticas são:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Uma pessoa deu $ 2.000 como entrada para comprar uma geladeira e pagou o restante com seu cartão de crédito por 18 meses sem juros. Ele deve pagar $ 550 por mês para quitar a dívida, que adquiriu para pagar a geladeira.

para. Qual o custo da geladeira?

b. Se você pagou o restante em 12 meses sem juros, quanto seria o pagamento mensal?

Solução

para. Neste caso:

\({a_{19}} = 2000 + 18\esquerda({550} \direita)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Entre os números 2000 e 11900 devemos encontrar 11 médias aritméticas, para as quais:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Dada a sequência \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) encontre os 3 elementos a seguir e a expressão geral do elemento \(n\).

Solução

A sequência em questão não é uma progressão aritmética, pois \(22 – 7 \ne 45 – 22\), mas podemos formar uma sequência com as diferenças de dois elementos consecutivos e a tabela a seguir mostra as resultados:

Elementos da sequência \({b_n}\)	Sequência \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

A terceira coluna da tabela acima nos diz que a sequência \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); é uma sequência aritmética cuja diferença é \(d = 8\).

A seguir, escreveremos os elementos da sequência \({b_n}\) em função da sequência \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Em geral você tem:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Ao aplicar

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Com \({c_1} = 7\) e \(d = 8,\) obtemos:

\({b_n} = \frac{{n\esquerda( {14 + \esquerda( {n – 1} \direita) 8} \direita)}}{2}\)

\({b_n} = n\esquerda( {7 + 4\esquerda( {n – 1} \direita)} \direita)\)

\({b_n} = n\esquerda({4n + 3} \direita)\)

Aplicando a fórmula anterior: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)