Definição de Frações Próprias e Impróprias

Frações próprias compreendem um numerador e denominador de propriedade positiva, onde o numerador é menor que o denominador, e sempre com valor menor que 1, cuja linguagem simbólica é expressa:
A fração \(\frac{a}{b}\), com 0 < a < b, é própria e seus valores são menores que 1.

Por outro lado, na fração imprópria, o numerador e o denominador são positivos, para os quais o numerador é maior ou igual ao denominador, e com valor que pode ser maior ou igual a 1, cuja linguagem simbólica é estabelece:
A fração \(\frac{a}{b}\), com 0 < a \(\le\) b, é imprópria e com valores maiores ou iguais a 1.

Princípios matemáticos e conceituais da fração

A fração do objeto surge da divisão e tomada em partes iguais, o que constitui a ideia intuitiva do conceito de fração, não No entanto, a definição formal afirma que: um número é uma fração se for obtido pela divisão de um inteiro \(a\) por um inteiro \(b\ne 0\), que é escreva como:

\(\frac{a}{b},~{}^{a}\!\!\diagup\!\!{}_{b}\;,~a\div b\)

O acima é uma das representações numéricas de uma fração.

A interpretação da fração \(\frac{a}{b},~b\ne 0,\) é que um objeto foi dividido em \(b\) partes iguais e \(a\) foi retirado delas.

Por exemplo, a fração \(\frac{3}{8}\) significa que um objeto foi dividido em 8 partes iguais e 3 delas foram retiradas.

Essencialmente, uma fração é regida por dois elementos: numerador (indica o número de partes iguais que foram tomadas) e denominador (número em que o objeto foi dividido e deve ser sempre diferente de zero). Assim, na fração \(\frac{4}{7}\) o numerador é 4 e o denominador é sete e a fração é lida como quatro sétimos ou 4 dividido por 7.

Em geral, a fração é da forma:

\(\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\)

Diferentes representações de uma fração

representação geométrica

O Retângulo foi dividido em 12 partes iguais; a área azul representa \(\frac{5}{12}~\) e a área amarela representa \(\frac{7}{12}.\)

No círculo, representa que \(\frac{1}{3}~\)(um terço) será extraído e \(\frac{2}{3}\) permanecerá.

representação verbal

Já usamos a linguagem verbal para expressar uma fração como cinco sextos para nos referirmos a \(\frac{5}{6};~\)mas é comum que diversos meios de comunicação nos apresentem informações sobre o seguinte maneira:

No mundo, aproximadamente 9 em cada 10 pessoas, com mais de 15 anos, sabem ler e escrever, o que é interpretado numericamente como \(\frac{9}{10}\).

Outro exemplo é

"No México, 13 de 24 pessoas são mulheres, enquanto no mundo, 381 de 770 pessoas são do gênero feminino” numericamente o acima significa \(\frac{13}{24}~~\)y \(\frac{381}{770}\), respectivamente.

Representação com porcentagens

As empresas geralmente oferecem descontos e expressam em porcentagens para dizer quanto menos você pagará por cada $ 100 que comprar. Por exemplo, um desconto de 30% indica que para cada $ 100 eles vão descontar $ 30 e uma forma alternativa de expressar 30% é com a fração \(\frac{30}{100}.\)

Muitas variáveis ​​econômicas são expressas em porcentagem, como taxa de juros, inflação, aumento do PIB (Produto Interno Bruto), por exemplo, se um banco oferece uma taxa de juros de 5% ao investir com eles; o que ele está prometendo é que para cada $ 100 eles darão $ 5, então \(5%~\) também é representado por \(\frac{5}{100}\).

representação decimal

O número \(0,4\) é lido como 4 décimos; que é representado por \(\frac{4}{10},\) ou seja:

\(0.4=\frac{4}{10}\)

O número \(0,625\) é interpretado como \(625\) milésimos, e podemos garantir a seguinte igualdade:

\(0.625=\frac{625}{1000}\)

Para encontrar a representação decimal de uma fração, é necessário realizar a divisão manualmente ou com uma calculadora. Veja alguns exemplos

\(\frac{5}{8}=0,625\)

\(\frac{8}{5}=1.6\)

\(\frac{2}{3}=0.\bar{6}\)

\(\frac{1}{7}=0.\overline{142857}\)

frações próprias

A seguir, mostraremos vários exemplos de frações próprias em suas diferentes representações.

\(\frac{1}{8},~\frac{4}{5},~\frac{13}{16},\frac{17}{24}\) são frações próprias.

A parte iluminada das figuras anteriores são frações próprias e ambas representam \(\frac{3}{4}\).

Os números \(0.5,~0.375,\text{ }\!\!~\!\!\text{ y}~0.1\bar{6}\) são a representação decimal do frações próprias \(\frac{1}{2},\frac{3}{8}~\text{y }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{6},\ ) respectivamente.

As porcentagens 30%, 25% e 50% podem ser representadas pelas frações \(\frac{3}{10},\frac{1}{4},~\text{y}~\frac{1}{ 2 }\)

frações impróprias

A seguir, mostraremos vários exemplos de frações impróprias em suas diferentes representações.

\(\frac{5}{4},\frac{19}{7},\frac{11}{9}~\) são frações impróprias.

A parte iluminada das figuras anteriores representa a mesma fração imprópria, ou seja, \(\frac{6}{4}.\)

Os números \(1.5,~3.375,\text{ }\!\!~\!\!\text{ y}~6.1\bar{6}\) são a representação decimal do frações próprias \(\frac{3}{2},\frac{27}{8}~\text{y }\!\!~\!\!\text{ }\frac{37}{6},\ ) respectivamente.

As porcentagens 130%, 105% e 150% podem ser representadas pelas frações \(\frac{130}{100},\frac{105}{100},~\text{y}~\frac{150}{ 100 }\)