Newtons binomiale eksempel

De Newtons binomial, også kalt "binomial teorem " er en logaritme som lar oss få krefter fra binomaler.

For å oppnå binomialeffekten kalt koeffisientene “binomiale koeffisienter"Som består av sekvenser av kombinasjoner.

Eksempel 1, generelle formler for Newtons binomial:

(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a - b)² = a² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 til²b + 3 ab² + b³

Disse formlene er kjent under navnet bemerkelsesverdige identiteter, der det opprettes en mer generell formel som tilsvarer utviklingen av (a + b)ⁿ, hvor n er noe naturlig heltall.

Denne formelen er gyldig for ethvert element til Y b av en ring,

A (for lover + Y x) til

Beting at de to elementene tilY b være slik at til x b = b x til:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C¹_n til^n-2 xb² + ...
+ C^s_n  til^n-p x b^s +… + C_sⁿ¹ + bⁿ.

De C^s_n er naturlige heltall, kalt binomiale koeffisienter (de som uttrykker antall kombinasjoner av n gjenstander tatt s til s; kan enkelt beregnes takket være Pascals trekant).

Eksempel 2, fra Newtons binomial:

Vi vurderer multiplikasjon:

z. z = z² der z kan være et hvilket som helst algebraisk uttrykk:

Anta det nå z = x + Y, deretter:

z. z = (x + y) = (x + y) men (x + y)

som kan beregnes slik:

x + y
x + y

Her blir multiplikasjonen utført fra venstre til høyre, og resultatet oppnås ved å legge til algebraisk:

x² + x y
+ xy + y²

x² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Hvis vi vurderer:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Når multiplikasjonen utføres får vi:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + og²

X³ + 3 x² y + 3 x y² + og³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + og³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

Og når vi gjør multiplikasjonen.

x³ + x² y + 3 x y² + og³

x + y_________________

x⁴ + 3 x³ y + 3 x² Y² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + og⁴

x⁴ + 4x³og + 6x² y + 4xy³ + og⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³og + 6x² Y² + 4xy³ + og⁴