Voorbeeld van irrationele getallen

Er is een groep getallen die niet kan worden uitgedrukt als gehele getallen, noch als fractionele getallen met een noemer die verschilt van 0, deze groep getallen wordt genoemd irrationele nummers.

Gehele getallen bij optellen, aftrekken of vermenigvuldigen leveren een geheel getal op, dat zowel positief als negatief kan zijn.

Fractionele getallen drukken een deel van een geheel uit, dat wil zeggen, ze drukken een deling uit, die kan worden opgeteld bij of afgetrokken van gehele getallen of van andere fractionele getallen. Naast de producten van een deling uitgedrukt in een breuk, kun je een decimaal resultaat met getallen maken.

Gehele en gebroken getallen zijn gemakkelijk te vinden op een getallenlijn.

Veel wiskundigen sinds de tijd van Pythagoras realiseerden zich dat er hiaten zijn tussen fractionele getallen. Tegelijkertijd vonden ze resultaten van wiskundige bewerkingen die geen resultaten uitdrukten exacte of herhalende decimalen, maar produceerde in plaats daarvan resultaten met oneindige decimalen en volgde niet een patroon. Omdat deze resultaten niet in overeenstemming zijn met de theorie van numerieke perfectie van Pythagoras, werden ze vanwege deze eigenschap van het niet volgen van een patroon irrationele getallen genoemd. Ze ontdekten ook dat deze getallen de gaten op de getallenlijn tussen de fractionele getallen opvulden.

Om een ​​irrationeel getal uit te drukken, wordt het over het algemeen weergegeven als de wiskundige formule die ertoe leidt. Als u bijvoorbeeld de vierkantswortel van het getal 2 berekent, is het resultaat een getal dat geen numeriek patroon volgt en waarvan de decimalen tot in het oneindige reiken:

√2 =

Wat te vereenvoudigen wordt weergegeven als √2.

Er zijn enkele irrationele getallen die specifieke namen hebben gekregen omdat ze relaties vertegenwoordigen constanten, zoals de "Archimedische constante", het resultaat van het delen van de omtrek van een cirkel voer je radio in. In de 18e eeuw werd deze constante gedefinieerd als het getal pi:

 π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209…

Voorbeelden van irrationele getallen en hun eerste 20 decimalen:

(pi) π = 3.14159265358979323846…

(phi, gouden getal) φ = 1.6180339887498948482045…

(Getal van Euler) e = 2.7182818284590452353602…

√2 = 1.41421356237309504880…

√3 = 1.73205080756887729352…

√5 = 2.23606797749978969640…

√7 = 2.64575131106459059050…

√8 = 2.82842712474619009760…

√10 = 3.16227766016837933199…

√11 = 3.31662479035539984911…

√12 = 3.464101615137754587054…

√13 = 3.605551275463989293119…

√14 = 3.741657386773941385583…

√15 = 3.872983346207416885179…

√17 = 4.123105625617660549821…

√18 = 4.2426406871192851464050…

√19 = 4.3588989435406735522369…

√20 = 4.47213595499957939281834…

√26 = 5.099019513592784830028224…

√30 = 5.477225575051661134569697…

√35 = 5.916079783099616042567328…

√40 = 6.324555320336758663997787…

√50 = 7.071067811865475244008443…

√99 = 9.949874371066199547344798…

√101 = 10.049875621120890270219264…

√201 = 14.177446878757825202955618…

√500 = 22.360679774997896964091736…

√713 = 26.702059845637377344148367…

√888 = 29.799328851502679438663632…

√999 = 31.606961258558216545204213…