Newtons binomiaal voorbeeld

De De binomiaal van Newton, ook wel genoemd "binomiale stelling " is een logaritme waarmee we bevoegdheden van binomialen kunnen verkrijgen.

Om de binominale macht te verkrijgen, worden de coëfficiënten "binomiale coëfficiënten"Die bestaan ​​uit reeksen van combinaties.

Voorbeeld 1, Algemene formules van de binomiaal van Newton:

(a + b)² = een² + 2 ab + b²
(a - b)² = een² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 tot²b + 3 ab² + b³

Deze formules staan ​​bekend onder de naam opmerkelijke identiteiten, waarbij een meer algemene formule ontstaat die gelijk is aan de ontwikkeling van (a + b)^nee, waarbij n een natuurlijk geheel getal is.

Deze formule is geldig voor elk element naar Y b van een ring,

A (voor wetten) + Y X) naar

Voorwaarde dat de twee elementen naarY b wees zo dat naar X b = b X naar:

(a + b)^nee = een^nee + C¹_nee naar^n-2 xb² + ...
+ C^p_nee  naar^n-p x b^p +… + C_pⁿ¹ + b^nee.

De C^p_nee zijn natuurlijke gehele getallen, binomiale coëfficiënten genoemd (die het aantal combinaties van nee items genomen p naar p; kan gemakkelijk worden berekend dankzij de driehoek van Pascal).

Voorbeeld 2, uit de binomiaal van Newton:

We beschouwen vermenigvuldiging:

z. z = z² waarbij z elke algebraïsche uitdrukking kan zijn:

Stel nu dat z = X + Y, dan:

z. z = (x + y) = (x + y) maar (x + y)

die als volgt kan worden berekend:

x + y
x + y

Hier wordt de vermenigvuldiging van links naar rechts uitgevoerd en het resultaat wordt verkregen door algebraïsch op te tellen:

X² + x y
+ xy + y²

X² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Als we overwegen:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Wanneer de vermenigvuldiging wordt uitgevoerd, krijgen we:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + en²

X³ + 3x² y + 3 x y² + en³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3x² y + 3 x y² + en³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

En wanneer we de vermenigvuldiging doen.

X³ + x² y + 3 x y² + en³

x + y_________________

X⁴ + 3x³ y + 3 x² Y² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + en⁴

X⁴ + 4x³en + 6x² y + 4xy³ + en⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³en + 6x² Y² + 4xy³ + en⁴