Radikāļu racionalizācijas definīcija (matemātika)

Radikāļu racionalizācija ir matemātisks process, kas tiek veikts, ja saucējā ir koeficients ar radikāļiem vai saknēm. Tādā veidā var atvieglot matemātiskās darbības, kurās ir iesaistīti koeficienti ar radikāļiem un cita veida matemātiskiem objektiem.

Koeficientu veidi ar radikāļiem

Ir svarīgi pieminēt dažus koeficientu veidus ar radikāļiem, kurus var racionalizēt. Tomēr, pirms pilnībā iesaistīties racionalizācijas procesā, ir jāatceras daži svarīgi jēdzieni. Pirmkārt, pieņemsim, ka mums ir šāda izteiksme: \(\sqrt[m]{n}\). Šī ir skaitļa \(n\) sakne \(m\), tas ir, minētās darbības rezultāts ir tāds skaitlis, ka, paaugstinot to līdz pakāpei \(m\), mēs iegūstam skaitli \(n\) kā rezultātā). Pakāpe un sakne ir apgrieztas darbības tādā veidā, ka: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
No otras puses, ir vērts pieminēt, ka divu vienādu sakņu reizinājums ir vienāds ar reizinājuma sakni, tas ir, \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Šie divi īpašumi būs mūsu labākie sabiedrotie racionalizācijas procesā.

Visizplatītākais un vienkāršākais koeficienta veids ar radikāli, ko varam atrast, ir šāds:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Kur \(a\), \(b\) un \(c\) var būt jebkuri reāli skaitļi. Racionalizācijas process šajā gadījumā sastāv no veida atrašanas, kā koeficientā iegūt izteiksmi \(\sqrt {{c^2}} = c\), lai atbrīvotos no radikāļa. Šajā gadījumā pietiek ar \(\sqrt c \) reizināt gan skaitītāju, gan saucēju:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Atceroties iepriekš minēto, mēs zinām, ka \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Tāpēc mēs beidzot iegūstam, ka:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Tādā veidā mēs esam racionalizējuši iepriekšējo izteiksmi. Šī izteiksme nav nekas vairāk kā konkrēts gadījums vispārējai izteiksmei, kas ir šāda:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Kur \(a\), \(b\), \(c\) ir jebkuri reāli skaitļi un \(n\), \(m\) ir pozitīvas pakāpes. Šīs izteiksmes racionalizācija ir balstīta uz to pašu principu kā iepriekšējā, tas ir, iegūstiet izteiksmi \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) saucējā. To var panākt, reizinot ar \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) gan skaitītāju, gan saucēju:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Mēs varam izstrādāt radikāļu reizinājumu saucējā šādi: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Tāpēc racionalizētais koeficients paliek šāds:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Cits koeficients ar radikāļiem, ko var racionalizēt, ir tas, kurā mums ir binomiāls ar kvadrātsaknēm saucējā:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Kur \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) un \(e\;\) ir jebkuri reāli skaitļi. Simbols \(± \) norāda, ka zīme var būt pozitīva vai negatīva. Saucēja binomiālam var būt abas saknes vai tikai viena, tomēr mēs izmantojam šo gadījumu, lai iegūtu vispārīgāku rezultātu. Centrālā doma veikt racionalizācijas procesu šajā gadījumā ir tāda pati kā iepriekšējos gadījumos, tikai tā šajā gadījumā mēs reizinām gan skaitītāju, gan saucēju ar binoma konjugātu, kas atrodams saucējs. Binoma konjugāts ir binomiāls, kuram ir vienādi termini, bet kura centrālais simbols ir pretējs sākotnējam binomam. Piemēram, binoma \(ux + vy\) konjugāts ir \(ux – vy\). To sakot, mums ir:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Simbols \( \mp \) norāda, ka zīme var būt pozitīva vai negatīva, taču tai ir jābūt pretēja saucēja simbolam, lai binomiāli tiktu konjugēti. Izstrādājot saucēja binomiālu reizinājumu, iegūstam, ka:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Beidzot mēs to iegūstam:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Ar to mēs esam racionalizējuši koeficientu ar radikālu. Šie koeficienti ar radikāļiem ir tie, kurus parasti var racionalizēt. Tālāk mēs redzēsim dažus radikāļu racionalizācijas piemērus.

piemēri

Apskatīsim dažus piemērus racionalizācijai ar koeficientiem ar iepriekšminētā veida radikāļiem. Vispirms pieņemsim, ka mums ir šāds koeficients:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Šajā gadījumā pietiek reizināt skaitītāju un saucēju ar \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Tagad pieņemsim, ka mums ir šāds koeficients ar radikāli:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

Šajā gadījumā mums ir sestā kubiskā jaudas sakne. Iepriekšējā sadaļā mēs minējām, ka, ja mums ir radikālis formā \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) saucēju, mēs varam racionalizēt koeficientu, reizinot skaitītāju un saucēju ar \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Salīdzinot to ar šeit aprakstīto gadījumu, mēs varam saprast, ka \(n = 6\), \(c = 4\) un \(m = 3\), tāpēc Tāpēc mēs varam racionalizēt iepriekšējo koeficientu, reizinot skaitītāju un saucēju ar \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Visbeidzot, pieņemsim, ka mums ir šāda funkcija:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Kā parādīts iepriekšējā sadaļā, lai racionalizētu šāda veida koeficientu ar radikāļiem, skaitītājs un saucējs jāreizina ar saucēja konjugātu. Šajā gadījumā saucēja konjugāts būtu \(x – \sqrt x \). Tāpēc izteiksme būtu šāda:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Izstrādājot saucēja konjugēto binomiālu reizināšanu, mēs beidzot iegūstam, ka:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Atsauces

Agilars Arturo, Bravo Fabiāns, Gallegoss Hermans, Serons Migels un Rejs Rikardo. (2009). Aritmētika. Meksika: Pīrsona izglītība.