マクスウェルの方程式とは何ですか？また、それらはどのように定義されていますか？

エンジェルサモララミレス | 7月 2022
物理学の学位

これらの方程式の前は、電気力と磁力は「離れた力」であると言われていましたが、この種の相互作用が発生する物理的な手段は知られていませんでした。 長年の研究の後 電気 Y 磁気、マイケル・ファラデーは、電荷と電流の間の空間に、それらが互いに相互作用し、すべてを明らかにすることを可能にする物理的な何かがなければならないだろうと直感しました 知られている電気的および磁気的現象、彼は最初にこれらを「力線」と呼び、それが電磁場の存在のアイデアにつながりました。

ファラデーのアイデアに基づいて、ジェームズクラークマクスウェルは4つの偏微分方程式で表される場の理論を開発します。 マクスウェルはこれを「電磁気理論」と呼び、このタイプの数学的言語を物理理論に組み込んだ最初の人物でした。 真空の微分形式でのマクスウェルの方程式（つまり、誘電体および/または分極性材料がない場合）は次のとおりです。

\（\ nabla \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho} {{{\ epsilon} _ {0}}} \）
\（\ nabla \ times \ vec {E} =-\ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} \）
\（\ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 \）
\（\ nabla \ times \ vec {B} = {{\ mu} _ {0}} \ vec {J} + {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} \）
微分形式の真空に関するマクスウェルの方程式

ここで、\（\ vec {E}〜\）は電場、\（\ vec {B}〜\）は磁場、\（\ rho〜\）はの密度です。 電荷、\（\ vec {J} ~~ \）はに関連付けられたベクトルです 電流、\（{{\ epsilon} _ {0}}〜\）は真空の誘電率であり、\（{{\ mu} _ {0}} ~~ \）は真空の透磁率です。 これらの方程式のそれぞれは、 法 電磁気学のと意味があります。 以下にそれぞれについて簡単に説明します。

ガウスの法則

\（\ nabla \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho} {{{\ epsilon} _ {0}}} \）
電界に関するガウスの法則

この最初の方程式が示すことは、電荷が電界の源であり、この電界が電荷から直接「発散」するということです。 さらに、電界の方向はそれを生成する電荷の符号によって決定され、力線がどれだけ近いかは電界自体の大きさを示します。 下の画像は、今述べたことをいくらか要約しています。

図1.スタジオワークから。-正と負の2つの点電荷によって生成される電界の図.

この法則の名前は、発散定理に基づいて定式化した数学者のヨハン・カール・フリードリヒ・ガウスに由来しています。

磁場に関するガウスの法則

\（\ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 \）

磁場に関するガウスの法則

この法則には特定の名前はありませんが、前の式と類似しているため、この法則と呼ばれています。 この表現の意味は、「電荷」に類似した「磁気電荷」がないこと、つまり、磁場の源である磁気単極子がないことです。 これが、磁石を半分に割っても、N極とS極の両方を持つ2つの同様の磁石が残っている理由です。

ファラデーの法則

\（\ nabla \ times \ vec {E} =-\ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} \）
ファラデーの誘導の法則

これは、ファラデーが1831年に、変化する磁場が電流を誘導できることを発見したときに策定された有名な誘導の法則です。 この方程式が意味することは、時間とともに変化する磁場が誘導することができるということです その周りに電界が発生し、それによって電荷が移動して、 ストリーム。 これは最初は非常に抽象的なように聞こえるかもしれませんが、ファラデーの法則は、モーター、エレキギター、および誘導クックトップの動作の背後にあります。

アンペア–マクスウェル法

\（\ nabla \ times \ vec {B} = {{\ mu} _ {0}} \ vec {J} + {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} \）

この方程式が最初に私たちに伝えるのは、電流が電流の方向の周りに磁場を生成し、 生成された磁場の大きさはこれの大きさに依存します、これはエルステッドが観察したものであり、後にアンペアはそれを行うことができました 公式化する。 ただし、この方程式の背後には奇妙なことがあります。それは、側の2番目の項です。 法 この式は元々一貫性がなかったため、方程式のはマクスウェルによって導入されました 特に、他の人たちと一緒に、それは電荷保存則の違反につながりました。 このマクスウェルを回避するために、彼の理論全体が一貫するように、この第2項を単に導入しました。この項は、 「変位電流」という名前が付けられ、当時、それを裏付ける実験的証拠はありませんでした。 バックアップします

図2。 De Rumruay.-ケーブルに流れる電流は、アンペールの法則に従ってケーブルの周りに磁場を生成します。

変位電流の意味は、磁場と同じように、 変数は電界を誘導し、時間とともに変化する電界は電界を生成することができます 磁気。 変位電流の最初の実験的確認は、 の理論の発表から20年以上後の1887年のハインリヒヘルツによる電磁波 マクスウェル。 ただし、変位電流の最初の直接測定はMによって行われました。 R。 1929年のヴァンコーウェンベルグ。

光は電磁波です

マクスウェルの方程式によって行われた最初の気が遠くなるような予測の1つは、 電磁波だけでなく、光はこの波でなければならないことも明らかになりました タイプ。 これをいくらか見るために、マクスウェルの方程式を試してみますが、その前に、波動方程式の形式を次に示します。

\（{{\ nabla} ^ {2}} u = \ frac {1} {{{v} ^ {2}}} \ frac {{{\ partial} ^ {2}} u} {\ partial {{ t} ^ {2}}} \）
3次元の波動方程式の一般的な形式。

ここで、\（{{\ nabla} ^ {2}} \）はラプラシアン演算子、\（u \）は波動関数、\（v \）は波の速度です。 また、空の空間でマクスウェルの方程式を使用します。つまり、電荷と電流がない場合は、電界と磁界のみを使用します。

\（\ nabla \ cdot \ vec {E} = 0 \）

\（\ nabla \ times \ vec {E} =-\ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} \）

\（\ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 \）

\（\ nabla \ times \ vec {B} = {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} \）

また、以下も使用します 身元 ベクトル計算：

\（\ nabla \ times \ left（\ nabla \ times \ vec {A} \ right）= \ nabla \ left（\ nabla \ cdot \ vec {A} \ right）-{{\ nabla} ^ {2}} \ time {A} \）

上記の空きスペースのマクスウェルの方程式を使用してこのアイデンティティを電界と磁界に適用すると、次の結果が得られます。

\（{{\ nabla} ^ {2}} \ vec {E} = {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {{{\ partial} ^ {2} } \ vec {E}} {\ partial {{t} ^ {2}}} \）

\（{{\ nabla} ^ {2}} \ vec {B} = {{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}} \ frac {{{\ partial} ^ {2} } \ vec {B}} {\ partial {{t} ^ {2}}} \）

これらの方程式が上記の波動方程式と類似していることに注意してください。 結論、電界と磁界は波（電磁波）のように振る舞うことができます。 これらの波の速度を\（c \）と定義し、これらの方程式を上記の波動方程式と比較すると、速度は次のようになります。

\（c = \ frac {1} {\ sqrt {{{\ mu} _ {0}} {{\ epsilon} _ {0}}}} \）

\（{{\ mu} _ {0}} \）と\（{{\ epsilon} _ {0}} \）は、それぞれ真空の透磁率と誘電率であり、どちらも定数です。 値が\（{{\ mu} _ {0}} = 4 \ pi \ times {{10} ^ {-7}} ~~ T \ cdot m / A \）および\（{{\イプシロン}0}}= 8.8542 \ times {{10} ^ {-12}}〜{{C} ^ {2}} / N \ cdot m〜\）、 これらの値を代入すると、\（c \）の値は\（c = 299,792,458 \ frac {m} {s} \ approx 300,000〜km / s \）であり、これはまさにその速度です。 ライト。

この小さな分析で、3つの非常に重要な結論を得ることができます。

1）電場と磁場は波のように振る舞うことができます。つまり、真空中を伝播することもできる電磁波があります。

2）光は電磁波であり、その速度は透磁率と誘電率に依存します それが伝播する媒体の、空の空間では、光はおよその速度を持っています 300,000 km / s

3）透磁率と誘電率は普遍的な定数であるため、 光速も普遍的な定数ですが、これはその値が依存しないことも意味します の フレームワーク そこから測定されます。

この最後の声明は、当時非常に物議を醸したものでした。 光は、それを測定する人の動きや光源の動きに関係なく同じです。 ライト？ 何かの速度は相対的でなければなりませんよね？ さて、これは当時の物理学の分水嶺であり、この単純だが深遠な事実は、1905年にアルバートアインシュタインによる特殊相対性理論の開発につながりました。