Esempio di binomio di Newton

Il Binomio di Newton, chiamato anche "teorema binomiale" è un logaritmo che ci permette di ottenere potenze di binomi.

Per ottenere la potenza binomiale, i coefficienti chiamati “coefficienti binomiali"Che consistono in sequenze di combinazioni.

Esempio 1, Formule generali del binomio di Newton:

(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a - b)² = a² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³

Queste formule sono conosciute con il nome di identità notevoli, dove viene creata una formula più generale che equivale allo sviluppo di (a + b)ⁿ, dove n è un qualsiasi intero naturale.

Questa formula è valida per qualsiasi elemento per sì b di un anello,

A (per le leggi + sì X) per

Condizione che i due elementi persì b essere tale che per X b = b X per:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C¹_n per^n-2 xb² + ...
+ C^p_n  per^n-p x b^p +… + C_pⁿ¹ + bⁿ.

Il C^p_n sono interi naturali, detti coefficienti binomiali (quelli che esprimono il numero di combinazioni di n oggetti presi p per p; può essere facilmente calcolato grazie al triangolo di Pascal).

Esempio 2, dal binomio di Newton:

Consideriamo la moltiplicazione:

z. z = z² dove z può essere qualsiasi espressione algebrica:

Supponiamo ora che z = X + sì, poi:

z. z = (x + y) = (x + y) ma (x + y)

che si può calcolare così:

x + y
x + y

Qui si esegue la moltiplicazione da sinistra a destra e il risultato si ottiene sommando algebricamente:

X² + x y
+ xy + y²

X² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Se consideriamo:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Quando si esegue la moltiplicazione si ottiene:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + e²

X³ + 3 x² y + 3 x y² + e³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + e³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

E quando facciamo la moltiplicazione.

X³ + x² y + 3 x y² + e³

x + y_________________

X⁴ + 3 x³ y + 3 x² sì² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + e⁴

X⁴ + 4x³e + 6x² y + 4xy³ + e⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³e + 6x² sì² + 4xy³ + e⁴