Exemple d'espace complet

L'analyse mathématique est la branche des sciences mathématiques qui traite de l'étude des espace plein, qui est un type d'espace métrique.

Un espace métrique est constitué de paires de points et d'une fonction de distance entre eux; dans ces espaces, il est possible de définir une séquence de Cauchy formée par des distances de plus en plus petites entre ces deux points. Lorsque dans l'espace métrique il n'est plus possible de trouver une plus petite distance dans la séquence alors nous avons un espace plein. Les ensembles numériques fermés, c'est-à-dire ceux dans lesquels il y a une limite, sont des espaces complets.

Exemple d'espace plein :

L'ensemble des nombres naturels, y compris 0, est un espace complet puisque cet ensemble est fermé par la fin de 0. La représentation de cet ensemble de nombres est N= [0, 1, 2,… n}.

Prenons deux points quelconques entre deux éléments de cet ensemble, par exemple 4 et 8, représentés de la manière suivante p = (4, 8), la fonction distance entre deux points est égale à 4, la suite de Cauchy est donnée par la suite {4, 3, 2, 1, 0} qui converge vers 0.

Un autre exemple est l'ensemble des nombres réels positifs formés avec {0} qui est représenté par ET⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, puisque étant donné deux points dans cet espace la séquence de Cauchy convergera lorsque la distance est 0

L'ensemble des nombres rationnels n'est pas un espace complet, car la distance 0 (le nombre 0 en tant que nombre ne existe dans cet ensemble) ce qui rend la suite de Cauchy non convergente en aucun point de cet ensemble ensemble.

Tout intervalle fermé des nombres naturels est un espace complet.