Mikä on toimintojen hierarkia?

Operaatioiden hierarkia on matemaattinen sopimus, joka määrittää järjestyksen, jossa yhdistetyt laskentatoimet tulee suorittaa sama matemaattinen lause, eli kun on matemaattinen lause, jossa on matemaattisia operaatioita (yhteen-, vähennys-, kerto-, jako-, potenssit ja juuret) yhdistettynä, nämä on tehtävä tietyssä järjestyksessä tuloksen saamiseksi yleinen.

Mutta miksi hierarkiaa tarvitaan? Jotta voimme vastata siihen, meidän on ensin ymmärrettävä hyvin matemaattisten operaatioiden luonne, joka koostuu muunnoksesta, jota sovelletaan joukon elementteihin. Ajatellaanpa esimerkiksi reaalilukujen joukkoa, eli niitä lukuja, jotka me kaikki tiedämme. Jos otamme luvun a ja lisäämme sen toiseen numeroon b, saamme toisen luvun c, joka kuuluu samaan reaalilukujen joukkoon, eli:

a+b = c

Lisäksi lisäysten esittämisjärjestys ei vaikuta lopputulokseen, eli siihen a+b = b+a, tätä ominaisuutta kutsutaan kommutatiivisuudeksi. On tärkeää puhua lisäämisestä, koska se on perustoiminto, josta kaikki muut johdetaan. Kertolasku ei ole muuta kuin sarja toistuvia yhteenlaskuja. Jos meillä on jälleen luku a ja kerromme sen luvulla b, teemme toisinaan luvun b lisäämistä itsensä kanssa tai vaihtoehtoisesti lisäämällä b kertaa luvun a itsensä kanssa. Jälkimmäinen on niin, koska kertolasku on kommutatiivista, kuten yhteenlasku, tämä tarkoittaa, että:

a⋅b = b⋅a. Edellä mainittu voidaan ilmaista seuraavasti:

Voimme helposti visualisoida tämän esimerkin avulla. Tehdään 5×2 kertolasku:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Entä jos meidän on suoritettava operaatio, jossa olemme yhdistäneet yhteen- ja kertolaskutoimituksen? Esimerkki: a⋅b+c. Missä järjestyksessä yhteen- ja kertolasku on suoritettava? Mitä operaatiota meidän on suosittava? Jos suoritamme kertolaskun ensin ja kehitämme sen summana, saisimme:

Jos nyt suoritettaisiin ensin yhteenlasku ja sitten kertolasku, saisimme:

Koska yhteenlasku on kommutatiivista, voimme ryhmitellä yhtälön oikean puolen uudelleen saadaksemme:

Vertaamalla molemmissa tilanteissa saatuja tuloksia on helppo ymmärtää, että:

Päättelemme sitten, että toimintojen suorittamisjärjestys vaikuttaa saatuun tulokseen. Sama tapahtuu, kun otamme mukaan voimia. Kun nostamme luvun b potenssiin c, kerromme c kertaa luvun b itsensä kanssa, eli:

Jatkamme nyt seuraavan yhdistelmäoperaation suorittamista, johon sisältyy kertolasku ja potenssi a⋅b^c eri järjestyksessä kuin edellisessä tapauksessa. Jos asetamme ensiksi valtaan, meillä on:

Jos nyt suoritamme kertolaskun ja sitten tehon, meillä olisi:

Kertomisen kommutatiivisuutta hyödyntäen voimme ryhmitellä yhtälön oikean puolen seuraavasti:

Jälleen voimme verrata tuloksia, jotka on saatu suorittamalla toiminnot eri järjestyksessä ymmärtääksemme, että:

Myös tässä tapauksessa toimintojen suoritusjärjestys vaikuttaa saatuun tulokseen. Joten, missä järjestyksessä toiminnot on suoritettava? Operaatiohierarkia määrittää, että potenssit ovat kertolaskua korkeammalla hierarkiatasolla siten, että potenssit ovat etusijalla matemaattisessa lausunnossa. Kertolaskuilla on puolestaan ​​korkeampi hierarkiataso kuin yhteenlaskuilla.

Mutta entä vähentäminen, jako ja juuret? Vähennys on yhteenlaskulle vastakkainen operaatio, kun vähennämme luvun b luvusta a, saadaan toinen luku c siten, että c+b=a. Jotain vastaavaa tapahtuu jako- ja vähennyslaskussa. Jos jaamme luvun a luvulla b ja saamme tuloksena luvun c, olemme löytäneet sellaisen luvun, että b⋅c=a. Ja lopuksi, laskemalla luvun a juuren b, löydämme sellaisen luvun c, että c^b=a. Nämä ekvivalenssit asettavat vähennyksen, jakolaskun ja juurin samalle hierarkiatasolle kuin yhteenlasku, kertolasku ja potenssi.

Sulkujen ja hakasulkeiden käytännöt

Mitä nyt tapahtuu, jos haluamme antaa etusijalle tietyt toiminnot matemaattisessa lauseessa niiden hierarkiatasosta riippumatta? Tätä varten käytetään sulkeita ja hakasulkeita. Oletetaan, että meillä on periaate a⋅b+c. Sen perusteella, mitä olemme sanoneet aiemmin, tiedämme jo, että meidän on ensin suoritettava kertolasku ja sitten yhteenlasku. Mutta entä jos haluamme, ettei näin ole? Tätä varten meidän pitäisi käyttää sulkeita tai hakasulkeita erottamaan yhteenlasku kertolaskusta ja siten ensisijaisesti laskea yhteenlasku ensin, eli: a⋅(b+c). Tämän vuoksi suluilla ja hakasulkeilla erotetuilla lauseilla on korkein prioriteetti kaikkiin muihin toimintoihin nähden.

Kaiken edellä sanotun kanssa toimintojen hierarkia tai järjestys, jossa ne on suoritettava, on seuraava:

1) Sulut ja hakasulkeet
2) Voimat ja juuret
3) Kerto- ja jakolasku
4) Yhteen- ja vähennyslasku

Viitteet

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Matematiikan perusteet: osa I. Cambridge, Massachusetts ja Lontoo: MIT Press.