Παράδειγμα πλήρους χώρου

Η μαθηματική ανάλυση είναι ο κλάδος των μαθηματικών επιστημών που ασχολείται με τη μελέτη του πλήρης χώρος, που είναι ένας τύπος μετρικού χώρου.

Ένας μετρικός χώρος αποτελείται από ζεύγη σημείων και μια συνάρτηση απόστασης μεταξύ τους. Σε αυτούς τους χώρους είναι δυνατό να οριστεί μια Cauchy ακολουθία που σχηματίζεται από όλο και μικρότερες αποστάσεις μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Όταν στο μετρικό διάστημα δεν είναι πλέον δυνατό να βρούμε μια μικρότερη απόσταση στην ακολουθία τότε έχουμε ένα πλήρης χώρος. Κλειστά αριθμητικά σύνολα, δηλαδή εκείνα στα οποία υπάρχει όριο, είναι πλήρεις κενές θέσεις.

Παράδειγμα πλήρους χώρου:

Το σύνολο των φυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου του 0, είναι ένας πλήρης χώρος δεδομένου ότι αυτό το σύνολο έχει κλείσει μέχρι το τέλος του 0. Η αναπαράσταση αυτού του αριθμού είναι Ν= [0, 1, 2,… n}.

Ας πάρουμε δύο σημεία μεταξύ δύο στοιχείων αυτού του συνόλου, για παράδειγμα 4 και 8, που παρουσιάζονται με τον ακόλουθο τρόπο p = (4, 8), η συνάρτηση απόστασης μεταξύ δύο σημείων είναι ίση με 4, η ακολουθία Cauchy δίνεται από την ακολουθία {4, 3, 2, 1, 0} που συγκλίνει 0.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών που σχηματίζονται με το {0} το οποίο αντιπροσωπεύεται ως ΚΑΙ⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. Ν}, δεδομένου ότι δίνονται δύο σημεία σε αυτόν τον χώρο, η ακολουθία Cauchy θα συγκλίνει όταν η απόσταση είναι 0

Το σύνολο των λογικών αριθμών δεν είναι πλήρης χώρος, καθώς η απόσταση 0 (ο αριθμός 0 ως αριθμός δεν είναι υπάρχει σε αυτό το σύνολο) που κάνει την ακολουθία Cauchy να μην συγκλίνει σε κανένα σημείο σε αυτό σειρά.

Κάθε κλειστό διάστημα των φυσικών αριθμών είναι ένας πλήρης χώρος.