Jak je definován Thalesův teorém?

Z Thalesovy věty, daná několika rovnoběžnými čarami, se říká, že přímka \(T\) je příčná k rovnoběžkám, pokud protíná každou z paralelních čar.

Na obrázku 1 jsou přímky \({T_1}\) a \({T_2}\) příčné k rovnoběžným přímkám \({L_1}\) a \({L_2}.\)

Thalesova věta (slabá verze)
Pokud několik rovnoběžek určuje shodné segmenty (které měří stejně) v jedné ze svých dvou příčných čar, určí také shodné segmenty v ostatních příčných.

Na obrázku 2 jsou černé čáry rovnoběžné a musíte:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Můžeme zajistit následující:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Říká se, že moudrý Thales z Milétu změřil výšku Cheopsovy pyramidy, k tomu použil stíny a použití vlastností trojúhelníkové podobnosti. Thalesova věta je zásadní pro vývoj konceptu podobnosti trojúhelníků.

Poměry a vlastnosti proporcí

Jeden poměr je podíl dvou čísel, s dělitelem jiným než nula; to znamená:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{with\;}}b \ne 0\)

Proporce je rovnost dvou poměrů, tedy:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) se také nazývá konstanta úměrnosti.

Vlastnosti proporcí

Pokud \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), pak pro \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

příklady

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Dvojice segmentů \(\overline {AB} \) a \(\overline {CD} \) je údajně úměrná segmentům \(\overline {EF} \) a \(\overline {GH} \) pokud je poměr splněn:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Kde \(AB\;\) označuje délku segmentu \(\overline {AB} .\)

Thalesova věta

Vrátíme-li se zpět k definici, několik rovnoběžek určuje proporcionálně odpovídající segmenty v jejich příčných liniích.

Na obrázku 3 jsou přímky rovnoběžné a můžeme zajistit:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Všimněme si, že první dva předchozí proporce jsou ekvivalentní následujícím proporcím:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Výše dostaneme:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

V mnoha případech je lepší pracovat s předchozími proporcemi a v tomto případě:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Konverze Thalesovy věty

Pokud několik čar určuje proporcionálně odpovídající segmenty ve svých příčných liniích, pak jsou čáry rovnoběžné

Pokud je na obrázku 4 splněno

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Pak můžeme potvrdit, že: \({L_1}\paralelní {L_2}\paralelní {L_3}.\)

Zápis \({L_1}\paralelní {L_2}\), čtený \({L_1}\) je paralelní k \({L_2}\).

Z předchozího podílu získáme:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Rozdělení segmentu na několik stejně dlouhých částí

Na konkrétním příkladu si ukážeme, jak rozdělit segment na části stejné délky.

Rozdělte segment \(\overline {AB} \) na 7 stejně dlouhých segmentů

Výchozí situace

Nakreslete pomocnou čáru, která prochází jedním z konců segmentu

S podporou kružítka se na pomocnou čáru nakreslí 7 stejně dlouhých segmentů

Nakreslete čáru, která spojuje konce posledního nakresleného segmentu a druhý konec segmentu, který má být rozdělen

Jsou nakresleny rovnoběžně s poslední právě nakreslenou čárou, která prochází body, kde se oblouky obvodu protínají s pomocnou čárou.

Daný segment \(\overline {AB} \), bod \(P\) segmentu je řekl, aby dělil segment \(\overline {AB} \), v poměru \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Rozdělení segmentu v daném poměru

Je dán segment \(\overline {AB} \) a dvě kladná celá čísla \(a, b\); bod \(P\), který rozděluje segment v poměru \(\frac{a}{b};\;\), lze nalézt takto:

1. Rozdělte segment \(\overline {AB} \) na \(a + b\) segmenty stejné délky.
2. Vezměte \(a\) segmenty počítané od bodu \(A\).

příklady

Dělení segmentu \(\overline {AB} \) v poměru \(\frac{a}{b}\)

Důvod	Počet částí, na které je segment rozdělen	Umístění bodu \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Aplikované příklady Thalesovy věty

aplikace 1: Tři pozemky se rozprostírají od ulice Sol k ulici Luna, jak je znázorněno na obrázku 5.

Boční hranice jsou segmenty kolmé k ulici Luna. Pokud celkové průčelí pozemků na ulici Sol měří 120 metrů, určete průčelí každého pozemku v dané ulici, pokud je také známo:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Problémové prohlášení

Protože jsou čáry kolmé k Luna Street, pak jsou vzájemně rovnoběžné, použitím Thalesovy věty můžeme potvrdit:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Z výše uvedeného můžeme uzavřít:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Podobně můžeme dojít k závěru:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Řešení

K určení konstanty úměrnosti \(k,\) použijeme vlastnosti proporcí:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Z výše uvedeného dostáváme:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\levý( {10} \pravý) = 12.\)

Analogicky:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \vpravo) = 36\)

Odpovědět

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Délka	12m	48m	24m	36m

aplikace 2: Grafik navrhl polici ve tvaru rovnoběžníku a umístí 3 police, jak je znázorněno na obrázku Obrázek 6, body E a F jsou středy stran \(\overline {AD} \) a \(\overline {BC} ,\) respektive. Abyste mohli sestavy vyrobit, musíte do polic udělat zářezy. V jaké části polic by měly být provedeny řezy?

Vyjádření problému: Vzhledem k podmínkám, které jsou uvedeny v problému, je splněno následující:

\(ED = EA = CF = BF\)

Jako pomocné konstrukce prodloužíme strany \(\overline {CB} \) a \(\overline {DA} \). Bodem A je vedena čára přes \(A\) a rovnoběžná se stranou \(\overline {EB} \) a bodem \(C\;\) je vedena čára rovnoběžná se stranou \(\overline {DF} \).

Použijeme Converse Thalesovy věty, abychom ukázali, že segmenty \(\overline {EB} \) a \(\overline {DF} \) jsou paralelní, abychom mohli aplikovat Thalesovu větu.

Řešení

Podle konstrukce je čtyřúhelník \(EAIB\) rovnoběžník, takže máme EA=BI, protože jsou protilehlými stranami rovnoběžníku. Nyní:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Aplikováním reciproční reciproké hodnoty Thalesovy věty můžeme dojít k závěru:

\(\overline {AI} \paralelní \overline {EB} \paralelní \overline {DF} \paralelní \overline {JC} \)

Vezmeme-li segmenty \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) a segmenty BC a CI jako jejich transversály; tak jako:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Vezmeme-li \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) a segmenty \(\overline {AC} \) a \(\overline {EB} \) jako jejich transversály, budeme mít:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Podobně se ukazuje, že:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Odpovědi

Diagonální řezy \(\overline {AC} \) musí být provedeny v bodech \(G\;\) a \(H\) tak, aby:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Totéž platí pro police \(\overline {EB} \) a \(\overline {DF} \).