Дефиниция на експоненциална функция

Инхибиране Теория на струните / by admin / April 02, 2023

Марко Антонио Родригес Андраде
Магистър по математика, д-р на науките

Експоненциалната функция моделира различни природни явления и социални и икономически ситуации, поради което е важно да се идентифицират експоненциалните функции в различни контексти.

Нека си припомним, че за число ${a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa$ е дефинирано, като цяло имаме това за всяко \(n\ ) естествено число:

В случай $a \ne 0$, имаме това: ${a^0} = 1,\;$ всъщност, когато $a \ne 0,$ има смисъл да се извърши операцията \ (\frac{a}{a} = 1;\) когато прилагаме закона за показателите, имаме:

$\frac{a}{a} = 1$

${a^{1 – 1}} = 1$

${a^0} = 1.$

Когато $a = 0$, предишното разсъждение няма смисъл, следователно на израза ${0^0},$ липсва математическа интерпретация.

В случай, че $b > 0$ и е вярно, че ${b^n} = a,$, се казва, че $b$ е n-ти корен от $a$ и обикновено е означен като \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) или $b = \sqrt[n]{a}$.

Когато $a < 0$, няма реално число $b$, такова че ${b^2} = a;$, защото ${b^2} \ge 0;\;\ ), така че изрази на формата \({a^{\frac{m}{n}}}$, няма да се разглежда за $a < 0.$ В следния алгебричен израз: ${a^n}$ $a \ ) се нарича основа, а \(n$ е наричана експонента, ${a^n}$ се нарича степен$\;n$ на $a$ или също се нарича $a$ на степен $n,\;$se спазвайте следните закони на показателите:

instagram story viewer

${a^n}{a^m} = {a^{n + m}}$	$\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}$	${\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}$
$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}$	${a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}$	${\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}$
${\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}$	${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$	${a^0} = 1$ за всеки $a \ne 0$

Експоненциалната функция е във формата:

$f\наляво( x \надясно) = {a^x}$

където $a > 0$ е константа и независимата променлива е експонентата $x$.

За да направим анализ на експоненциалната функция, ще разгледаме три случая

Случай 1 Когато основата $a = 1.$

В този случай $a = 1,$ функцията $f\left( x \right) = {a^x}$ е постоянна функция.

Случай 2 Когато основата $a > 1$

В този случай имаме следното:

Стойност на $x$
$x < 0$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$1 < {a^x} < a$
$x = 1$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$a < {a^x}$

Функцията $f\left( x \right) = {a^x}$ е строго нарастваща функция, т.е. ако ${x_2} > {x_1}$, тогава:

${a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}$

$f\наляво( {{x_2}} \вдясно) > f\наляво( {{x_1}} \вдясно)$

Когато едно явление се моделира с експоненциална функция, с $a > 1$, казваме, че то представя експоненциален растеж.

Случай 2 Когато основата $a < 1$.

Стойност на $x$
$x < 0$	${a^x} > 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$0 < {a^x} < a < 1$

Когато $a < 1$, функцията $f\left( x \right) = {a^x}$ е строго намаляваща функция, т.е. ако \({x_2} > {x_1}\ ), така:

${a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}$ $f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) $ Когато едно явление е модели с експоненциална функция, с $a < 1$, казваме, че представя затихване или намаляване експоненциален. Следващата графика илюстрира поведението на ${a^x}$, в неговите три различни случая.

Приложения на експоненциалната функция

Пример 1 Нарастване на населението

Ще обозначим с ${P_0}$ първоначалната популация и с $r \ge 0$ скоростта на нарастване на популацията, ако скоростта на популацията остава постоянна във времето; функцията

$P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};$

Намерете населението в момент t.

Практически пример 1

Населението на Мексико през 2021 г. е 126 милиона и представя годишен ръст от 1,1%, Ако този растеж се запази, какво население ще има в Мексико през 2031 г., през годината 2021?

Решение

В този случай ${P_o} = 126$ и $r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011$, така че трябва да използвате:

$P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + .0011} \right)^t}$

Следващата таблица показва резултатите

година	изминалото време ($T$)	Изчисляване	Население (милиони)
2021	0	$P\вляво( t \вдясно) = 126{\вляво( {1,0011} \вдясно)^0}$	126
2031	10	$P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{10}}$	140.57
2051	30	$P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{30}}$	174.95

Пример 2 Изчисляване на сложна лихва

Банките предлагат годишен лихвен процент, но реалният процент зависи от това за колко месеца го инвестирате; Например, ако ви бъде предложен годишен лихвен процент от r%, реалният месечен процент е $\frac{r}{{12}}$%, двумесечният процент е $\frac{r}{6}$%, тримесечното е $\frac{r}{4}$%, тримесечното е $\frac{r}{3}$%, а семестърът е $\frac{r}{2}$%.

Практически пример 2

Да предположим, че инвестирате 10 000 в банка и те ви предлагат следните годишни лихвени проценти:

Срочни депозити	Годишна ставка	периоди в годината	действителна ставка	Натрупани пари за $k$ месеца
два месеца	0.55%	6	$\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}$	$10000{\ляво( {1 + 0,00091667} \дясно)^{\frac{k}{2}}}$
три месеца	1.87%	4	$\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}$	$10000{\ляво( {1 + 0,00461667} \дясно)^{\frac{k}{3}}}$
шест месеца	1.56%	2	$\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}$	$10000{\ляво( {1 + 0,0078} \дясно)^{\frac{k}{6}}}$

Числото $e$, постоянен и непрекъснат интерес на Ойлер.

Сега да предположим, че имаме начален капитал $C$ и го инвестираме при фиксиран процент $r > 0$, и разделяме годината на $n$ периода; капиталът, натрупан за една година, е равен на:

$A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$

За да анализираме как се държи натрупаният капитал, когато $n$, расте, ще пренапишем натрупания капитал за една година:

$A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$$A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},$

правейки $m = \frac{n}{r}$, получаваме:

$A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}$$A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.$

С нарастването на $n$ расте и $m = \frac{n}{r}.$

С нарастването на $m = \frac{n}{r},$ изразът ${\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}$ се доближава до това, което се нарича Константа на Ойлер или число:

$e \приблизително 2,718281828 \lточки .$

Константата на Ойлер няма краен или периодичен десетичен израз.

Имаме следните приближения

$C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \приблизително C{e^r},$ $C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \приблизително C{e^{rs}}.$

Към израза:

$A = \;C{e^r},$

Можем да го тълкуваме по два начина:

1.- Като максималната сума, която можем да натрупаме за една година, когато инвестираме капитал $C,\;$ при годишен процент $r.$

2.- Като сумата, която бихме натрупали за една година, ако капиталът ни непрекъснато се реинвестира с годишен процент $r.$

$T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},$

е сумата, натрупана, ако $s$ години са инвестирани с непрекъсната лихва.

Конкретен пример 3

Сега ще се върнем към част от конкретен пример 2, където годишната ставка е 0,55% на двумесечни вноски. Изчислете капитала, който се натрупва, ако първоначалният капитал е 10 000 и се реинвестира за половин година, две години, 28 месеца.

$10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525$

както показва таблицата по-долу, стойността на $m = \frac{n}{r},$ не е „малка“ и таблицата по-горе показва, че ${\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}$ е близо до константата на Ойлер.

време	Брой периоди ($k$)	Натрупан капитал, в хиляди, реинвестиран на всеки два месеца
Половин година	3	$10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525$
Две години	12	$10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557$
38 месеца	19	$10{\ляво( {1,00091667} \дясно)^{19}} = 10.\;175612$

време	Време от години ($s$)	Натрупаният капитал, в хиляди, инвестирайте с непрекъсната лихва
Половин година	$s = \frac{1}{2}$	$10{e^{0,0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538$
Две години	$s = 2$	$10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607$
38 месеца	$s = \frac{{19}}{6}$	$10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692$

Пример 2 Амортизация

Практически пример 1

Един компютър се обезценява с 30% всяка година, ако един компютър струва $20 000 песо, определете цената на компютъра за $t = 1,12,\;14,\;38$ месеца.

В този случай човек има:

$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^t}$

С $t$ в години, заместването на $t$ в следващата таблица дава

време в месеци	време в години	изчисления	Числова стойност
1	$\frac{1}{{12}}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}$	19414.289
12	1	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}$	14000
14	$\frac{7}{6}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}$	13192.012
38	$\frac{{19}}{6}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}$	6464.0859

Облаци на етикети

Рейтинг

Изгледи

Коментари

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) за всеки \(a \ne 0\)

Стойност на \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Стойност на \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

време	Време от години (\(s\))	Натрупаният капитал, в хиляди, инвестирайте с непрекъсната лихва
Половин година	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Две години	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 месеца	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

година	изминалото време (\(T\))	Изчисляване	Население (милиони)
2021	0	\(P\вляво( t \вдясно) = 126{\вляво( {1,0011} \вдясно)^0}\)	126
2031	10	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left( t \right) = 126{\left( {1.0011} \right)^{30}}\)	174.95

Срочни депозити	Годишна ставка	периоди в годината	действителна ставка	Натрупани пари за \(k\) месеца
два месеца	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\ляво( {1 + 0,00091667} \дясно)^{\frac{k}{2}}}\)
три месеца	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\ляво( {1 + 0,00461667} \дясно)^{\frac{k}{3}}}\)
шест месеца	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\ляво( {1 + 0,0078} \дясно)^{\frac{k}{6}}}\)

време	Брой периоди (\(k\))	Натрупан капитал, в хиляди, реинвестиран на всеки два месеца
Половин година	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Две години	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 месеца	19	\(10{\ляво( {1,00091667} \дясно)^{19}} = 10.\;175612\)

време в месеци	време в години	изчисления	Числова стойност
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859