Какво представляват уравненията на Максуел и как се дефинират?

Анхел Замора Рамирес | юли 2022
Диплома по физика

Преди тези уравнения се казваше, че електрическите и магнитните сили са "сили на разстояние", не беше известно физическо средство, чрез което да се случи този тип взаимодействие. След много години изследвания на електричество Y магнетизъм, Майкъл Фарадей интуитивно предположи, че трябва да има нещо физическо в пространството между зарядите и електрическите токове, което да им позволи да взаимодействат един с друг и да проявят всички електрически и магнитни явления, които са били известни, той първо ги нарича „силови линии“, което води до идеята за съществуването на електромагнитно поле.

Надграждайки идеята на Фарадей, Джеймс Клерк Максуел развива теория на полето, представена от четири частични диференциални уравнения. Максуел нарича това "електромагнитна теория" и е първият, който включва този тип математически език във физическа теория. Уравненията на Максуел в тяхната диференциална форма за вакуум (т.е. в отсъствието на диелектрик и/или поляризируеми материали) са както следва:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Уравненията на Максуел за вакуума в неговата диференциална форма

Където \(\vec{E}~\)е електрическото поле, \(\vec{B}~\)е магнитното поле, \(\rho ~\)е плътността на електрически заряд, \(\vec{J}~~\)е вектор, свързан с a електрически ток, \({{\epsilon }_{0}}~\) е електрическата проницаемост на вакуум и \({{\mu }_{0}}~~\) е магнитната проницаемост на вакуум. Всяко от тези уравнения съответства на a закон на електромагнетизма и има значение. Ще обясня накратко всеки от тях по-долу.

Закон на Гаус

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Закон на Гаус за електрическото поле

Това, което ни казва това първо уравнение, е, че електрическите заряди са източниците на електрическото поле, това електрическо поле се „отклонява“ директно от зарядите. Освен това посоката на електрическото поле се диктува от знака на електрическия заряд, който го произвежда, и колко близо са линиите на полето показва големината на самото поле. Изображението по-долу донякъде обобщава току-що споменатото.

Илюстрация 1. От Studiowork.- Диаграма на електрическите полета, генерирани от два точкови заряда, един положителен и един отрицателен.

Този закон дължи името си на математика Йохан Карл Фридрих Гаус, който го формулира въз основа на своята теорема за дивергенцията.

Законът на Гаус за магнитното поле

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Законът на Гаус за магнитното поле

Този закон няма конкретно име, но се нарича така поради сходството му с предишното уравнение. Значението на този израз е, че няма "магнитен заряд", аналогичен на "електрически заряд", тоест няма магнитни монополи, които са източник на магнитното поле. Това е причината, поради която ако счупим един магнит наполовина, пак ще имаме два подобни магнита, и двата със северен и южен полюс.

Закон на Фарадей

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Закон за индукция на Фарадей

Това е известният закон за индукция, формулиран от Фарадей, когато през 1831 г. той открива, че променящите се магнитни полета са способни да индуцират електрически токове. Това уравнение означава, че магнитно поле, което се променя с времето, може да индуцира около него електрическо поле, което от своя страна може да предизвика движение на електрически заряди и създаване на a поток. Въпреки че това може да звучи много абстрактно в началото, законът на Фарадей стои зад работата на двигателите, електрическите китари и индукционните котлони.

Закон на Ампер – Максуел

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Първото нещо, което ни казва това уравнение, е, че електрическите токове генерират магнитни полета около посоката на тока и това величината на генерираното магнитно поле зависи от величината на това, това е, което Ерстед наблюдава и че по-късно Ампер успява да формулирам. Има обаче нещо любопитно зад това уравнение и това е вторият член отстрани закон на уравнението е въведено от Максуел, тъй като този израз първоначално е бил непоследователен с останалите, по-специално, това доведе до нарушаване на закона за запазване на електрическия заряд. За да избегне това, Максуел просто въведе този втори термин, така че цялата му теория да бъде последователна, този термин получи името "ток на изместване" и по това време нямаше експериментални доказателства в подкрепа на това. ще архивира

Илюстрация 2. De Rumruay.- Електрически ток, протичащ през кабел, генерира магнитно поле около него според закона на Ампер.

Значението на тока на изместване е, че по същия начин, както магнитното поле променлива индуцира електрическо поле, електрическо поле, което се променя с времето, е способно да генерира поле магнитен. Първото експериментално потвърждение на тока на изместване беше демонстрацията на съществуването на електромагнитни вълни от Хайнрих Херц през 1887 г., повече от 20 години след публикуването на теорията за Максуел. Въпреки това, първото директно измерване на тока на изместване е направено от М. Р. Ван Каувенберг през 1929 г.

светлината е електромагнитна вълна

Едно от първите умопомрачителни предсказания, направени от уравненията на Максуел, е съществуването на електромагнитни вълни, но не само това, те също разкриха, че светлината трябва да е вълна от това Тип. За да видим това донякъде, ще си поиграем с уравненията на Максуел, но преди това ето формата на всяко вълново уравнение:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Общ вид на вълново уравнение в три измерения.

Където \({{\nabla }^{2}}\) е операторът на Лаплас, \(u\) е вълнова функция и \(v\) е скоростта на вълната. Ще работим и с уравненията на Максуел в празно пространство, тоест при липса на електрически заряди и електрически токове, само електрически и магнитни полета:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

И ние също ще използваме следното идентичност векторно смятане:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \време{А}\)

Ако приложим тази идентичност към електрически и магнитни полета, използвайки уравненията на Максуел за празно пространство по-горе, получаваме следните резултати:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Обърнете внимание на сходството на тези уравнения с вълновото уравнение по-горе, в заключение, електрическите и магнитните полета могат да се държат като вълни (електромагнитни вълни). Ако дефинираме скоростта на тези вълни като \(c\) и сравним тези уравнения с вълновото уравнение по-горе, можем да кажем, че скоростта е:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) и \({{\epsilon }_{0}}\) са съответно магнитната проницаемост и електрическата проницаемост на вакуума и двете са константи универсали, чиито стойности са \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) и \({{\ епсилон } 0}}=8,8542\пъти {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), замествайки тези стойности, имаме, че стойността на \(c\) е \(c=299,792,458\frac{m}{s}\приблизително 300 000~km/s\), което е точно скоростта на светлина.

С този малък анализ можем да получим три много важни заключения:

1) Електрическите и магнитните полета могат да се държат като вълни, т.е. има електромагнитни вълни, които също могат да се разпространяват във вакуум.

2) Светлината е електромагнитна вълна, чиято скорост зависи от магнитната пропускливост и диелектрична проницаемост от средата, през която се разпространява, в празното пространство светлината има скорост приблизително 300 000 км/с.

3) Тъй като магнитната проницаемост и електрическата проницаемост са универсални константи, тогава скоростта на светлината също е универсална константа, но това също означава, че нейната стойност не зависи на рамка от която се измерва.

Това последно твърдение беше много противоречиво по онова време Как е възможно скоростта на светлината е една и съща независимо от движението на човека, който я измерва, и движението на светлинния източник. светлина? Скоростта на нещо трябва да е относителна, нали? Е, това беше вододел за физиката на времето и този прост, но дълбок факт доведе до разработването на Теорията на специалната относителност от Алберт Айнщайн през 1905 г.