مثال على مساحة كاملة

التحليل الرياضي هو فرع من فروع العلوم الرياضية الذي يتعامل مع دراسة مساحة كاملة، وهو نوع من المساحات المترية.

تتكون المساحة المترية من أزواج من النقاط ووظيفة المسافة بينهما ؛ في هذه المساحات ، من الممكن تحديد تسلسل كوشي الذي يتكون من مسافات أصغر بشكل متزايد بين هاتين النقطتين. عندما لا يكون من الممكن في الفضاء المتري إيجاد مسافة أصغر في المتسلسلة ، يكون لدينا مساحة كاملة. المجموعات العددية المغلقة ، أي تلك التي يوجد فيها حد ، هي مسافات كاملة.

مثال على المساحة الكاملة:

مجموعة الأعداد الطبيعية ، بما في ذلك 0 ، هي مسافة كاملة لأن هذه المجموعة مغلقة بنهاية 0. تمثيل مجموعة الأرقام هذه هو ن= [0 ، 1 ، 2 ،... ن}.

لنأخذ أي نقطتين بين عنصرين من هذه المجموعة ، على سبيل المثال 4 و 8 ، ممثلة بالطريقة التالية p = (4 ، 8) ، دالة المسافة بين نقطتين تساوي 4 ، تسلسل كوشي مُعطى بالتسلسل {4 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0} الذي يتقارب على 0.

مثال آخر هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة المكونة من {0} والتي يتم تمثيلها كـ و⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. ن} ، نظرًا لأنه معطى نقطتين في هذا الفضاء ، فإن تسلسل كوشي سوف يتقارب عندما تكون المسافة 0

مجموعة الأرقام المنطقية ليست مسافة كاملة ، لأن المسافة 0 (الرقم 0 كرقم لا يفعل ذلك موجود في هذه المجموعة) مما يجعل تسلسل كوشي غير متقارب في أي نقطة في هذا جلس.

أي فاصل مغلق من الأعداد الطبيعية هو مسافة كاملة.