تعريف ترشيد الجذور (الرياضيات)

إن تبرير الراديكاليين هو عملية رياضية يتم إجراؤها عندما يكون هناك حاصل قسمة مع جذور أو جذور في المقام. وبهذه الطريقة ، يمكن تسهيل العمليات الحسابية حيث يتم تضمين حواصل القسمة مع الجذور وأنواع أخرى من الكائنات الرياضية.

أنواع القواسم مع الجذور

من المهم ذكر بعض أنواع الحاصلات مع الراديكاليين التي يمكن تبريرها. ومع ذلك ، قبل الدخول بشكل كامل في عملية التبسيط ، يجب تذكر بعض المفاهيم الهامة. أولاً ، افترض أن لدينا التعبير التالي: \ (\ sqrt [m] {n} \). هذا هو جذر \ (م \) الرقم \ (n \) ، أي أن نتيجة العملية المذكورة هي رقم بحيث أن رفعه إلى القوة \ (م \) يعطينا الرقم \ (n \) نتيجة لذلك). تعتبر القوة والجذر عمليتين عكسيتين ، بحيث: \ (\ sqrt [m] {{{n ^ m}}} ​​= n \).
من ناحية أخرى ، من الجدير بالذكر أن حاصل ضرب جذرين متساويين يساوي جذر المنتج ، أي: \ (\ sqrt [m] {n} \ sqrt [m] {p} = \ sqrt [م] {{np}} \). هاتان الخاصيتان ستكونان أفضل حلفائنا عند التبرير.

النوع الأكثر شيوعًا وبساطة من حاصل القسمة مع الجذر الذي يمكننا العثور عليه هو ما يلي:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt c}} \)

حيث \ (أ \) و \ (ب \) و \ (ج \) يمكن أن تكون أي أرقام حقيقية. تتكون عملية الترشيد في هذه الحالة من إيجاد طريقة للحصول في حاصل القسمة على التعبير \ (\ sqrt {{c ^ 2}} = c \) للتخلص من الجذر. في هذه الحالة ، يكفي الضرب في \ (\ sqrt c \) في البسط والمقام:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt c}} = \ frac {a} {{b \ sqrt c}} \ frac {{\ sqrt c}} {{\ sqrt c}} = \ frac {{ أ \ sqrt c}} {{b \ sqrt c \ sqrt c}} \)

بتذكر ما ذكر أعلاه ، نعلم أن \ (\ sqrt c \ sqrt c = \ sqrt {{c ^ 2}} = c \). لذلك ، حصلنا أخيرًا على ما يلي:
\ (\ frac {a} {{b \ sqrt c}} = \ frac {a} {{bc}} \ sqrt c \)

بهذه الطريقة قمنا بترشيد التعبير السابق. هذا التعبير ليس أكثر من حالة معينة لتعبير عام وهو ما يلي:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt [n] {{{c ^ m}}}} \)

حيث \ (أ \) ، \ (ب \) ، \ (ج \) هي أي أرقام حقيقية و \ (n \) ، \ (م \) هي قوى موجبة. يعتمد ترشيد هذا التعبير على نفس المبدأ السابق ، أي الحصول على التعبير \ (\ sqrt [n] {{{c ^ n}}} = c \) في المقام. يمكننا تحقيق ذلك عن طريق الضرب في \ (\ sqrt [n] {{{c ^ {n - m}}}} \) كلا البسط والمقام:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt [n] {{{c ^ m}}}}} = \ frac {a} {{b \ sqrt [n] {{{c ^ m}}}} } \ فارك {{\ sqrt [n] {{{c ^ {n - m}}}}} {{\ sqrt [n] {{{c ^ {n - m}}}}} = \ frac {{a \ sqrt [n] {{{c ^ {n - m}}}}}} {{b \ sqrt [n] {{{c ^ m}}} ​​\ sqrt [n] {{{c ^ {n - m}}}}} \)

يمكننا تطوير ناتج الجذور في المقام على النحو التالي: \ (\ sqrt [n] {{{c ^ m}}} ​​\ sqrt [n] {{{c ^ {n - m}}}} = \ sqrt [n] {{{c ^ m} {c ^ {n - m}}} ​​= \ sqrt [n] {{{c ^ {m + \ left ({n - m} \ right)}}}} = sqrt [n] {{{c ^ n}}} = c \). لذلك ، يبقى حاصل القسمة العقلاني كما يلي:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt [n] {{{c ^ m}}}}} = \ frac {a} {{bc}} \ sqrt [n] {{{c ^ {n - م}}}} \)

نوع آخر من حاصل القسمة مع الجذور يمكن تبريره هو النوع الذي لدينا فيه ذات الحدين بجذور تربيعية في المقام:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt c \ pm d \ sqrt e}} \)

حيث \ (أ \) و \ (ب \) و \ (ج \) و \ (د \) و \ (هـ \ ؛ \) هي أي أرقام حقيقية. يشير الرمز \ (± \) إلى أن الإشارة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. يمكن أن يكون للمقام ذو الحدين جذرين أو واحدًا فقط ، ومع ذلك ، فإننا نستخدم هذه الحالة للحصول على نتيجة أكثر عمومية. الفكرة المركزية لتنفيذ عملية الترشيد في هذه الحالة هي نفسها كما في الحالات السابقة ، فقط تلك في هذه الحالة سنضرب كلًا من البسط والمقام في مرافق ذي الحدين الموجود في المقام - صفة مشتركة - حالة. اقتران ذو الحدين هو ذو الحدين له نفس المصطلحات ، لكن رمزه المركزي هو عكس القيمة الأصلية ذات الحدين. على سبيل المثال ، اقتران ذو الحدين \ (ux + vy \) هو \ (ux - vy \). بعد قولي هذا ، لدينا بعد ذلك:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt c \ pm d \ sqrt e}} = \ frac {a} {{b \ sqrt c \ pm d \ sqrt e}} \ frac {{b \ sqrt c \ النائب d \ sqrt e}} {{b \ sqrt c \ mp d \ sqrt e}} = \ frac {{a \ left ({b \ sqrt c \ mp d \ sqrt e} \ right)}} {{\ left ({b \ sqrt c \ pm d \ sqrt e} \ right) \ left ({b \ sqrt c \ mp d \ sqrt e} \ right)}} \)

يشير الرمز \ (\ mp \) إلى أن الإشارة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة ، ولكن يجب أن تكون معاكسة لرمز المقام حتى يتم تصريف ذات الحدين. من خلال تطوير مضاعفة ذات الحدين للمقام نحصل على ما يلي:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt c \ pm d \ sqrt e}} = \ frac {{a \ left ({b \ sqrt c \ mp d \ sqrt e} \ right)}} {{{ ب ^ 2} \ sqrt {{c ^ 2}} + bd \ sqrt {ce} - bd \ sqrt {ce} - {d ^ 2} \ sqrt {{e ^ 2}}}} \)

أخيرًا حصلنا على ذلك:

\ (\ frac {a} {{b \ sqrt c \ pm d \ sqrt e}} = \ frac {a} {{{b ^ 2} c - {d ^ 2} e}} \ left ({b \ الجذر التربيعي c \ mp d \ sqrt e} \ right) \)

بهذا قمنا بترشيد حاصل القسمة بجذر. هذه الحاصل مع المتطرفين هي التي يمكن عمومًا تبريرها. بعد ذلك ، سنرى بعض الأمثلة على ترشيد الراديكاليين.

أمثلة

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة على التبرير باستخدام حاصل القسمة مع الراديكاليين من النوع المذكور أعلاه. افترض أولاً أن لدينا حاصل القسمة التالي:

\ (\ frac {3} {{7 \ sqrt 2}} \)

في هذه الحالة يكفي ضرب البسط والمقام في \ (\ sqrt 2 \)

\ (\ frac {3} {{7 \ sqrt 2}} = \ frac {3} {{7 \ sqrt 2}} \ frac {{\ sqrt 2}} {{\ sqrt 2}} = \ frac {3 } {{7 \ sqrt 2 \ sqrt 2}} \ sqrt 2 = \ frac {3} {{7 \ sqrt 4}} \ sqrt 2 = \ frac {3} {{14}} \ sqrt 2 \)

الآن ، افترض أن لدينا حاصل القسمة التالي مع الجذر:

\ (\ frac {2} {{3 \ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}}}} \)

في هذه الحالة لدينا جذر سادس لقوة تكعيبية. ذكرنا في القسم السابق أنه إذا كان لدينا جذري للنموذج \ (\ sqrt [n] {{{c ^ m}}} ​​\) في المقام ، يمكننا إنطاق حاصل القسمة بضرب البسط والمقام في \ (\ sqrt [n] {{{c ^ {n –m}}}} \). بمقارنة هذا بالحالة المعروضة هنا يمكننا أن ندرك أن \ (n = 6 \) ، \ (c = 4 \) و \ (m = 3 \) ، لذلك لذلك ، يمكننا إنطاق حاصل القسمة السابق بضرب البسط والمقام في \ (\ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}} \):

\ (\ frac {2} {{3 \ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}}}} = \ frac {2} {{3 \ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}}} } \ frac {{\ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}}}} {{\ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}}}} = \ frac {2} {{3 \ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}} \ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}}}} \ sqrt [6] {{{4 ^ 3} }} = \ frac {2} {{3 \ sqrt [6] {{{4 ^ 6}}}}} \ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}} = \ frac {{\ sqrt [6] {{{4 ^ 3}}}}} {6} \)

أخيرًا ، افترض أن لدينا الوظيفة التالية:

\ (\ frac {1} {{x + \ sqrt x}} \)

كما هو موضح في القسم السابق ، لإضفاء الطابع المنطقي على هذا النوع من حاصل القسمة مع الجذور ، يجب عليك ضرب البسط والمقام في مرافق المقام. في هذه الحالة ، سيكون اقتران المقام \ (x - \ sqrt x \). لذلك ، سيكون التعبير كما يلي:

\ (\ frac {1} {{x + \ sqrt x}} \ frac {{x - \ sqrt x}} {{x - \ sqrt x}} = \ frac {1} {{\ left ({x + \ sqrt x} \ right) \ left ({x - \ sqrt x} \ right)}} \ left ({x - \ sqrt x} \ right) \)

عند تطوير عملية ضرب المترافقات ذات الحدين للمقام ، نحصل أخيرًا على ما يلي:

\ (\ frac {1} {{x + \ sqrt x}} = \ frac {{x - \ sqrt x}} {{{x ^ 2} - x}} \)

مراجع

أغيلار أرتورو ، برافو فابيان ، جاليجوس هيرمان ، سيرون ميغيل ورييس ريكاردو. (2009). علم الحساب. المكسيك: تعليم بيرسون.