تعريف التقدم الحسابي

Una secuencia de números \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) es llamada una progresión aritmética si la diferencia entre dos números consecutivos es igual a un mismo número \(d\), es decir نعم:

\ ({a_ {n + 1}} - {a_n} = d \)

الرقم \ (د \) يسمى اختلاف التقدم الحسابي.

يسمى العنصر \ ({a_1} \) بالعنصر الأول في التسلسل الحسابي.

يمكن التعبير عن عناصر التقدم الحسابي من حيث العنصر الأول واختلافه ، أي:

\ ({a_1}، {a_1} + d، {a_1} + 2d، {a_1} + 3d \)

هم العناصر الأربعة الأولى للتقدم الحسابي ؛ بشكل عام ، يتم التعبير عن العنصر \ (k - \) على النحو التالي:

\ ({a_k} = {a_1} + \ يسار ({ك - 1} \ يمين) د \)

من التعبير أعلاه نحصل على:

\ ({a_k} - {a_l} = {a_1} + \ left ({k - 1} \ right) d - \ left ({{a_1} + \ left ({l - 1} \ right) d} \ right ) \)

\ ({a_k} - {a_l} = \ يسار ({k - l} \ يمين) د \)

التعبير أعلاه يعادل:

\ ({a_k} = {a_l} + \ يسار ({ك - l} \ يمين) د \)

تطبق الأمثلة على التقدم الحسابي

1. أوجد فرق التقدم الحسابي: \ (3،8،13،18، \ ldots \) ​​وابحث عن العناصر \ ({a_ {20}}، \؛ {a_ {99}} \)

حل

بما أن \ (5 = 8-3 = 13-8 = 18-3 \) يمكننا أن نستنتج أن الفرق هو:

\ (د = 5 \)

\ ({a_ {20}} = {a_1} + \ يسار ({20 - 1} \ يمين) د = 3 + 19 \ يسار (5 \ يمين) = 98 \)

\ ({a_ {99}} = {a_1} + \ يسار ({99 - 1} \ يمين) د = 3 + 98 \ يسار (5 \ يمين) = 493 \)

2. في التقدم الحسابي لدينا: \ ({a_ {17}} = 20 \؛ \) و \ ({a_ {29}} = - 130 \) ، حدد الفرق في التقدم الحسابي واكتب أول 5 عناصر.

حل

يلبس

\ ({a_k} - {a_l} = \ يسار ({k - l} \ يمين) د \)

\ ({a_ {29}} - {a_ {17}} = \ يسار ({29 - 17} \ يمين) د \)

\ (- 130 - 20 = \ يسار ({12} \ يمين) د \)

\ (- 150 = \ يسار ({12} \ يمين) د \)

\ (12 د = - 150 \)

\ (d = - \ frac {{150}} {{12}} = - \ frac {{25}} {2} \)

للعثور على العناصر الخمسة الأولى ؛ سنحسب \ ({a_1} \):

\ ({a_k} = {a_1} + \ يسار ({ك - 1} \ يمين) د \)

\ ({a_ {17}} = {a_1} + \ left ({17 - 1} \ right) \ left ({- \ frac {{25}} {2}} \ right) \)

\ (20 = {a_1} + \ left ({16} \ right) \ left ({- \ frac {{25}} {2}} \ right) \)

\ (20 = {a_1} - 200 \)

\ ({a_1} = 20 + 200 = 220 \)

العناصر الخمسة الأولى هي:

\ (220،220 + \ left ({- \ frac {{25}} {2}} \ right) ، 220 + 2 \ left ({- \ frac {{25}} {2}} \ right) ، 220 + 3 \ يسار ({- \ frac {{25}} {2}} \ يمين) ، 220 + 4 \ يسار ({- \ فارك {{25}} {2}} \ يمين) \)

\ (220، \ frac {{415}} {2}، 195، \ frac {{365}} {2}، 170 \)

الأرقام المضلعة ومجموع العناصر \ (n \) الأولى للتقدم الحسابي

أعداد مثلثة

الأعداد المثلثة \ ({T_n} \؛ \) تتشكل من التقدم الحسابي: \ (1،2،3،4 \ ldots \)؛ بالطريقة الآتية.

\ ({T_1} = 1 \)

\ ({T_2} = 1 + 2 = 3 \)

\ ({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6 \)

\ ({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \)

مربع كامل

تتكون الأرقام المربعة \ ({C_n} \ ؛ \) من التقدم الحسابي: \ (1،3،5،7 \ ldots \)؛ على النحو التالي

\ ({C_1} = 1 \)

\ ({C_2} = 1 + 3 = 4 \)

\ ({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9 \)

\ (ج {\ ؛ _ 4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 \)

أرقام خماسية

تتكون الأرقام المربعة \ ({P_n} \ ؛ \) من التقدم الحسابي: \ (1،3،5،7 \ ldots \)؛ على النحو التالي

\ ({P_1} = 1 \)

\ ({P_2} = 1 + 4 = 5 \)

\ ({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12 \)

\ ({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22 \)

بعد ذلك ، سنعرض الصيغة لإيجاد مجموع العناصر \ (n \) الأولى للتقدم الحسابي.

بالنظر إلى التقدم الحسابي ، \ ({a_1}، {a_2} = {a_1} + d، {a_3} + 2d، \ ldots.، {a_n} = {a_1} + \ left ({n - 1} \ right) د\). لحساب المجموع \ ({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ ldots + {a_n}؛ \) يمكنك استخدام الصيغة:

\ ({S_n} = \ frac {{n \ left ({{a_1} + {a_n}} \ right)}} {2} \)

وهو ما يعادل

\ ({S_n} = \ frac {{n \ left ({2 {a_1} + \ left ({n - 1} \ right) d} \ right)}} {2} \)

بتطبيق الصيغة السابقة ، يتم الحصول على الصيغ لحساب الأرقام المثلثية والمربعة والخماسية ؛ والتي تظهر في الجدول التالي.

رقم متعدد الأضلاع	\ ({a_1} \)	\(د\)	معادلة
مثلث \ (n - \) th	1	1	\ ({T_n} = \ frac {{n \ left ({n + 1} \ right)}} {2} \)
مربع \ (ن - \) ث	1	2	\ ({C_n} = {n ^ 2} \)
خماسي \ (n - \) th	1	3	\ ({P_n} = \ frac {{n \ left ({3n - 1} \ right)}} {2} \)

مثال على أرقام متعددة الأضلاع

3. من المثال 2 احسب \ ({S_ {33}} \).

حل

في هذه الحالة \ ({a_1} = 200 \) و \ (d = - \ frac {{25}} {2} \)

تطبيق

\ ({S_n} = \ frac {{n \ left ({2 {a_1} + \ left ({n - 1} \ right) d} \ right)}} {2} \)

\ ({S_ {33}} = \ frac {{34 \ left ({2 \ left ({200} \ right) + \ left ({33 - 1} \ right) \ left ({- \ frac {{25 }} {2}} \ right)} \ right)}} {2} \)

\ ({S_ {33}} = 17 \ يسار ({400 + 16 \ يسار ({- 25} \ يمين)} \ يمين) = 17 \ يسار (0 \ يمين) = 0 \)

الوسائل الحسابية

بالنظر إلى رقمين \ (a \؛ \) و \ (b، \) الأرقام \ ({a_2} ، {a_3} ، \ ldots ، {a_ {k + 1}} \) تسمى \ (k \) تعني الأرقام الحسابية \ (أ \ ؛ \) و \ (ب \) ؛ إذا كان التسلسل \ (a، {a_2}، {a_3}، \ ldots، {a_ {k + 1}}، b \) تقدمًا حسابيًا.

لمعرفة قيم \ (ك \) الوسائل الحسابية للأرقام \ (أ \ ؛ \) و \ (ب \) ، يكفي معرفة الفرق في التقدم الحسابي ، لهذا يجب أن يكون ما يلي يعتبر:

\ (a = {a_1}، {a_2}، {a_3}، \ ldots، {a_ {k + 1}}، {a_ {k + 2}} = b، \)

مما سبق نؤسس العلاقة:

\ (ب = أ + \ يسار ({ك + 2 - 1} \ يمين) د \)

حل من أجل \ (د \) ، نحصل على:

\ (d = \ frac {{b - a}} {{k + 1}} \)

أمثلة

4. أوجد 7 وسائل حسابية بين العددين -5 و 25.

حل

عند التقديم

\ (d = \ frac {{b - a}} {{k + 1}} \)

مع \ (ب = 25 ، \ ؛ أ = - 5 \) و \ (ك = 7 \ ؛ \):

\ (d = \ frac {{25 - \ left ({- 5} \ right)}} {{7 + 1}} = \ frac {{30}} {8} = \ frac {{15}} {4 } \)

الوسائل الحسابية السبعة هي:

\ (- \ frac {5} {4}، \؛ \ frac {5} {2}، \؛ \ frac {{25}} {4}، 10، \ frac {{55}} {4}، \ frac {{35}} {2} ، \ frac {{85}} {4} \)

9. قدم شخص 2000 دولار كدفعة مقدمة لشراء ثلاجة ودفع الباقي ببطاقته الائتمانية لمدة 18 شهرًا بدون فوائد. يجب أن يدفع 550 دولارًا شهريًا لتسوية الديون التي حصل عليها لدفع ثمن ثلاجته.

ل. ما هي تكلفة الثلاجة؟

ب. إذا كنت قد دفعت الباقي على مدى 12 شهرًا بدون فوائد ، فكم ستكون الدفعة الشهرية؟

حل

ل. في هذه الحالة:

\ ({a_ {19}} = 2000 + 18 \ يسار ({550} \ يمين) \)

\ ({a_ {19}} = 2000 + 9900 = 11900 \)

ب. بين الأعداد 2000 و 11900 ، يجب أن نجد 11 وسيلة حسابية ، من أجلها:

\ (d = \ frac {{11900 - 2000}} {{12}} = 825 \)

5. بالنظر إلى التسلسل \ (7، \؛ 22، \؛ 45، \؛ 76،115،162 \) ، ابحث عن العناصر الثلاثة التالية والتعبير العام للعنصر \ (n \).

حل

التسلسل المعني ليس تطورًا حسابيًا ، منذ \ (22 - 7 \ ne 45 - 22 \) ، لكن يمكننا تكوين تسلسل مع الاختلافات بين عنصرين متتاليين ويظهر الجدول التالي نتائج:

عناصر التسلسل \ ({b_n} \)	تسلسل \ (\؛ {c_n} = {b_n} - {b_ {n - 1}} \)	\ (د = {c_ {n + 1}} - {c_n} \)
\ ({b_1} = 7 \)	\ ({c_1} = {b_1} \)
\ ({b_2} = 22 \)	\ ({c_2} = {b_2} - {b_1} = 15 \)	\ ({c_2} - {c_1} = 8 \)
\ ({b_3} = 45 \)	\ ({c_3} = {b_3} - {b_2} = \) 23	\ ({c_3} - {c_2} = 8 \)
\ ({b_4} = 76 \)	\ ({c_4} = {b_4} - {b_3} = 31 \)	\ ({c_4} - {c_3} = 8 \)
\ ({b_5} = 115 \)	\ ({c_5} = {b_5} - {b_4} = 39 \)	\ ({c_5} - {c_4} = 8 \)
\ ({b_6} = 162 \)	\ ({c_6} = {b_6} - {b_5} = 47 \)	\ ({c_6} - {c_5} = 8 \)

يخبرنا العمود الثالث من الجدول أعلاه أن التسلسل \ (15، \؛ 23، 31، 39، \؛ 47، \ ldots. \)؛ هو تسلسل حسابي فرقه \ (د = 8 \).

بعد ذلك ، سنكتب عناصر التسلسل \ ({b_n} \) بدلالة التسلسل \ ({c_n}، \)

\ ({b_1} = {c_1} \)

\ ({b_2} = {c_1} + {c_2} \)

\ ({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3} \)

\ ({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4} \)

بشكل عام لديك:

\ ({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ ldots + {c_n} \؛ \)

عند التقديم

\ ({S_n} = \ frac {{n \ left ({2 {c_1} + \ left ({n - 1} \ right) d} \ right)}} {2} \)

مع \ ({c_1} = 7 \) و \ (د = 8، \) نحصل على:

\ ({b_n} = \ frac {{n \ left ({14 + \ left ({n - 1} \ right) 8} \ right)}} {2} \)

\ ({b_n} = n \ يسار ({7 + 4 \ يسار ({n - 1} \ يمين)} \ يمين) \)

\ ({b_n} = n \ يسار ({4n + 3} \ يمين) \)

بتطبيق الصيغة السابقة: \ ({b_7} = 217، \؛ {b_8} = 280، \؛ {b_9} = 351 \)