تعريف الوظيفة الأسية

تمثل الوظيفة الأسية ظواهر طبيعية مختلفة وحالات اجتماعية واقتصادية ، ولهذا من المهم تحديد الوظائف الأسية في سياقات مختلفة.

دعونا نتذكر أنه بالنسبة لرقم \ ({a ^ 1} = a، {a ^ 2} = aa، \؛ {a ^ 3} = aaa \) معرّف ، بشكل عام لدينا هذا لأي \ (n \ ) الرقم الطبيعي:

في حالة \ (a \ ne 0 \) ، لدينا ما يلي: \ ({a ^ 0} = 1، \؛ \) في الواقع ، عندما \ (a \ ne 0، \) يكون من المنطقي إجراء العملية \ (\ frac {a} {a} = 1؛ \) عند تطبيق قانون الأسس ، لدينا:

\ (\ فارك {أ} {أ} = 1 \)

\ ({a ^ {1 - 1}} = 1 \)

\ ({a ^ 0} = 1. \)

عندما \ (a = 0 \) ، لا يكون المنطق السابق منطقيًا ، لذلك فإن التعبير \ ({0 ^ 0} ، \) يفتقر إلى تفسير رياضي.

في حالة \ (b> 0 \) وصحيح أن \ ({b ^ n} = a، \) يقال أن \ (b \) هو الجذر التاسع لـ \ (a \) وعادة ما يكون يُرمز إليه كـ \ (b = {a ^ {\ frac {1} {n}}} ، \ ؛ \) أو \ (b = \ sqrt [n] {a} \).

عند \ (a <0 \) ، لا يوجد رقم حقيقي \ (b \) مثل \ ({b ^ 2} = a ؛ \) بسبب \ ({b ^ 2} \ ge 0؛ \؛ \) لذلك تعابير النموذج \ ({a ^ {\ frac {m} {n}}} \) ، لن يتم اعتباره لـ \ (a <0. \) في التعبير الجبري التالي: \ ({a ^ n} \) \ (a \) يسمى القاعدة ، و \ (n \) هو يُسمى الأس ، \ ({a ^ n} \) يُطلق عليه قوة \ (\ ؛ n \) \ (أ \) أو يُسمى أيضًا \ (أ \) للسلطة \ (n ، \ ؛ \) حد ذاتها يتوافق مع القوانين التالية من الأس:

\ ({a ^ n} {a ^ m} = {a ^ {n + m}} \)	\ (\ frac {{{a ^ n}}} {{{a ^ m}}} ​​= {a ^ {n - m}} \)	\ ({\ left ({{a ^ n}} \ right) ^ m} = {a ^ {nm}} = {\ left ({{a ^ m}} \ right) ^ n} \)
\ (\ frac {1} {{{a ^ n}}} = {a ^ {- n}} \)	\ ({a ^ n} = \ frac {1} {{{a ^ {- n}}}} \)	\ ({\ left ({\ frac {1} {a}} \ right) ^ n} = \ frac {1} {{{a ^ n}}} \)
\ ({\ left ({ab} \ right) ^ n} = {a ^ n} {b ^ n} \)	\ ({\ left ({{a ^ {\ frac {1} {n}}}} \ right) ^ m} = {\ left ({{a ^ m}} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}} = {a ^ {\ frac {m} {n}}} \)	\ ({a ^ 0} = 1 \) لكل \ (a \ ne 0 \)

الوظيفة الأسية هي بالشكل:

\ (f \ left (x \ right) = {a ^ x} \)

حيث \ (a> 0 \) ثابت والمتغير المستقل هو الأس \ (x \).

لإجراء تحليل للدالة الأسية ، سننظر في ثلاث حالات

الحالة 1 عندما القاعدة \ (أ = 1. \)

في هذه الحالة ، \ (a = 1، \) الوظيفة \ (f \ left (x \ right) = {a ^ x} \) هي دالة ثابتة.

الحالة 2 عندما الأساس \ (أ> 1 \)

في هذه الحالة ، لدينا ما يلي:

قيمة \ (س \)
\ (س <0 \)	\ (0
\ (س = 0 \)	\ ({a ^ 0} = 1 \)
\ (0	\ (1
\ (س = 1 \)	\ ({a ^ x} = 1 \)
\ (س> 1 \)	\ (أ

الوظيفة \ (f \ left (x \ right) = {a ^ x} \) هي دالة زيادة صارمة ، أي إذا \ ({x_2}> {x_1} \) ، إذن:

\ ({a ^ {{x_2}}}> أ _ {} ^ {{x_2}} \)

\ (f \ left ({{x_2}} \ right)> f \ left ({{x_1}} \ right) \)

عندما يتم نمذجة ظاهرة بوظيفة أسية ، مع \ (أ> 1 \) ، نقول إنها تقدم نموًا أسيًا.

الحالة 2 عندما الأساس \ (أ <1 \).

قيمة \ (س \)
\ (س <0 \)	\ ({a ^ x}> 1 \)
\ (س = 0 \)	\ ({a ^ 0} = 1 \)
\ (0	\ (0
\ (س = 0 \)	\ ({a ^ x} = 1 \)
\ (س> 1 \)	\ (0

عندما \ (a <1 \) ، تكون الوظيفة \ (f \ left (x \ right) = {a ^ x} \) دالة تناقصية تمامًا ، أي إذا \ ({x_2}> {x_1} \) ، لذا:

\ ({a ^ {{x_2}}}

تطبيقات الدالة الأسية

مثال 1 النمو السكاني

سنشير إلى \ ({P_0} \) السكان الأولي ومع \ (r \ ge 0 \) معدل النمو السكاني ، إذا ظل معدل السكان ثابتًا بمرور الوقت ؛ الوظيفة

\ (P \ left (t \ right) = {P_0} {\ left ({1 + r} \ right) ^ t} ؛ \)

أوجد عدد السكان في الوقت t.

مثال عملي 1

يبلغ عدد سكان المكسيك في عام 2021 126 مليون نسمة ويمثل نموًا سنويًا بنسبة 1.1٪ ، إذا تم الحفاظ على هذا النمو ، ما هو عدد السكان في المكسيك في عام 2031 ، في العام 2021?

حل

في هذه الحالة \ ({P_o} = 126 \) و \ (r = \ frac {{1.1}} {{100}} = 0.011 \) ، يجب استخدام:

\ (P \ left (t \ right) = {P_0} {\ left ({1 + .0011} \ right) ^ t} \)

الجدول التالي يبين النتائج

سنة	الوقت المنقضي (\ (ر \))	عملية حسابية	السكان (بالملايين)
2021	0	\ (ف \ يسار (t \ يمين) = 126 {\ يسار ({1.0011} \ يمين) ^ 0} \)	126
2031	10	\ (P \ left (t \ right) = 126 {\ left ({1.0011} \ right) ^ {10}} \)	140.57
2051	30	\ (P \ left (t \ right) = 126 {\ left ({1.0011} \ right) ^ {30}} \)	174.95

مثال 2 حساب الفائدة المركبة

تقدم البنوك معدل فائدة سنوي ، لكن السعر الحقيقي يعتمد على عدد الأشهر التي تستثمرها فيه ؛ على سبيل المثال ، إذا عُرض عليك معدل فائدة سنوي يبلغ r٪ ، فإن المعدل الشهري الحقيقي هو \ (\ frac {r} {{12}} \)٪ ، والمعدل الشهري هو \ (\ frac {r} {6} \)٪ ، ربع سنوي \ (\ frac {r} {4} \)٪ ، ربع سنوي \ (\ frac {r} {3} \)٪ ، والفصل الدراسي هو \ (\ frac {r} {2} \)٪.

مثال عملي 2

لنفترض أنك تستثمر 10000 في أحد البنوك وأنهم يقدمون لك معدلات الفائدة السنوية التالية:

الودائع لأجل	المعدل السنوي	فترات في السنة	المعدل الفعلي	الأموال المتراكمة في \ (ك \) أشهر
شهرين	0.55%	6	\ (\ فارك {{0.55 \٪}} {6} = 0.091667 {\ rm {\٪}} \)	\ (10000 {\ left ({1 + 0.00091667} \ right) ^ {\ frac {k} {2}}} \)
ثلاثة أشهر	1.87%	4	\ (\ frac {{1.87 \٪}} {4} = 0.4675 {\ rm {\٪}} \)	\ (10000 {\ left ({1 + 0.00461667} \ right) ^ {\ frac {k} {3}}} \)
ستة أشهر	1.56%	2	\ (\ frac {{1.56 \٪}} {4} = 0.78 {\ rm {\٪}} \)	\ (10000 {\ left ({1 + 0.0078} \ right) ^ {\ frac {k} {6}}} \)

الرقم \ (هـ \) ، مصلحة أويلر المستمرة والمستمرة.

لنفترض الآن أن لدينا رأس مال أولي \ (C \) ونستثمره بسعر ثابت \ (r> 0 \) ، وقمنا بتقسيم السنة إلى فترات \ (n \) ؛ رأس المال المتراكم في السنة يساوي:

\ (A = \؛ C {\ left ({1 + \ frac {r} {n}} \ right) ^ n} \)

لتحليل سلوك رأس المال المتراكم عند نمو \ (n \) نموه ، سنقوم بإعادة كتابة رأس المال المتراكم خلال عام واحد:

\ (A = \؛ C {\ left ({1 + \ frac {r} {n}} \ right) ^ n} \) \ (A = \؛ C {\ left ({1 + \ frac {1} {{\ frac {n} {r}}}} \ right) ^ {\ left ({\ frac {n} {r}} \ right) r}} ، \)

بعمل \ (m = \ frac {n} {r} \) ، نحصل على:

\ (A = C {\ left ({1 + \ frac {1} {m}} \ right) ^ {mr}} \) \ (A = C {\ left ({{{\ left ({1 + \) frac {1} {m}} \ right)} ^ m}} \ right) ^ r}. \)

مع نمو \ (n \) ، ينمو كذلك \ (m = \ frac {n} {r}. \)

نظرًا لأن \ (m = \ frac {n} {r}، \) ينمو التعبير \ ({\ left ({1 + \ frac {1} {m}} \ right) ^ m} \) يقترب مما يسمى ثابت أو رقم أويلر:

\ (تقريبًا 2.718281828 \ نقاط. \)

لا يحتوي ثابت أويلر على تعبير عشري محدد أو دوري.

لدينا التقريبات التالية

\ (C {\ left ({{{\ left ({1 + \ frac {1} {m}} \ right)} ^ m}} \ right) ^ r} \ تقريبًا C {e ^ r}، \) \ (C {\ left ({1 + \ frac {r} {n}} \ right) ^ {ns}} \ تقريبًا C {e ^ {rs}}. \)

للتعبير:

\ (أ = \ ؛ ج {ه ^ r} ، \)

يمكننا تفسيره بطريقتين:

1.- كأقصى مبلغ يمكن أن نراكمه في عام عندما نستثمر رأس المال \ (C ، \ ؛ \) بمعدل سنوي \ (r. \)

2.- المبلغ الذي سنراكمه ، خلال عام ، إذا تم إعادة استثمار رأس مالنا بشكل مستمر بمعدل سنوي \ (r. \)

\ (T \ left (s \ right) = \ ؛ C {e ^ {rs}} ، \)

هو المبلغ المتراكم إذا تم استثمار \ (s \) سنوات بفائدة مستمرة.

مثال ملموس 3

الآن سنعود إلى جزء من المثال الملموس 2 ، حيث يكون المعدل السنوي 0.55٪ على أقساط نصف شهرية. احسب رأس المال الذي يتراكم إذا كان رأس المال الأولي 10000 ويعاد استثماره نصف عام أو عامين أو 28 شهرًا.

\ (10 ​​{\ left ({1.00091667} \ right) ^ {\ frac {6} {2}}} = 10. {\ rm {\؛}} 027525 \)

كما يوضح الجدول أدناه ، فإن قيمة \ (m = \ frac {n} {r}، \) ليست "صغيرة" ويشير الجدول أعلاه إلى أن \ ({\ left ({1 + \ frac {1} { m}} \ right) ^ m} \) قريب من ثابت أويلر.

وقت	عدد الفترات (\ (ك \))	رأس المال المتراكم بالآلاف يعاد استثماره كل شهرين
نصف سنة	3	\ (10 ​​{\ left ({1.00091667} \ right) ^ 3} = 10. {\ rm {\؛}} 027525 \)
سنتان	12	\ (10 ​​{\ left ({1.00091667} \ right) ^ {12}} = 10110. {\ rm {\؛}} 557 \)
38 شهرًا	19	\ (10 ​​{\ left ({1.00091667} \ right) ^ {19}} = 10. \؛ 175612 \)

وقت	الوقت بالسنوات (\ (ق \))	رأس المال المتراكم بالآلاف يستثمر باهتمام مستمر
نصف سنة	\ (s = \ frac {1} {2} \)	\ (10 ​​{e ^ {0.0055 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}} = 10. {\ rm {\؛}} 027538 \)
سنتان	\ (ق = 2 \)	\ (10 ​​{\ left ({1.00091667} \ right) ^ {0.0055 \ left (2 \ right)}} = 10110. {\ rm {\؛}} 607 \)
38 شهرًا	\ (s = \ frac {{19}} {6} \)	\ (10 ​​{\ left ({1.00091667} \ right) ^ {\ frac {{19}} {6}}} = 10. \؛ 175692 \)

مثال 2 الاستهلاك

مثال عملي 1

تنخفض قيمة الكمبيوتر بنسبة 30٪ كل عام ، إذا كان الكمبيوتر يكلف 20000 دولار بيزو ، فحدد سعر الكمبيوتر لمدة \ (t = 1،12، \؛ 14، \؛ 38 \) شهرًا.

في هذه الحالة ، يكون لدى المرء:

\ (P \ left (t \ right) = 20000 {\ rm {\؛}} {\ left ({1 - 0.30} \ right) ^ t} \)

مع \ (t \) بالسنوات ، فإن استبدال \ (t \) في الجدول التالي يعطي

الوقت في شهور	الوقت بالسنوات	العمليات الحسابية	قيمة عددية
1	\ (\ frac {1} {{12}} \)	\ (P \ left (t \ right) = 20000 {\ rm {\؛}} {\ left ({1 - .30} \ right) ^ {\ frac {1} {{12}}}} \)	19414.289
12	1	\ (P \ left (t \ right) = 20000 {\ rm {\ ؛}} {\ left ({1 - .30} \ right) ^ 1} \)	14000
14	\ (\ فارك {7} {6} \)	\ (P \ left (t \ right) = 20000 {\ rm {\؛}} {\ left ({1 - .30} \ right) ^ {\ frac {7} {6}}} \)	13192.012
38	\ (\ frac {{19}} {6} \)	\ (P \ left (t \ right) = 20000 {\ rm {\؛}} {\ left ({1 - .30} \ right) ^ {\ frac {7} {6}}} \)	6464.0859