تعريف الكسور المختلطة والوحدة والمتجانسة وغير المتجانسة

مختلط. يتكون الكسر المختلط من عدد صحيح أكبر من أو يساوي واحد وكسر مناسب ، وهو التهجئة العامة لكسر مختلط من الشكل: \ (a + \ frac {c} {d}، \) وكتابته المضغوطة هي: \ (a \ frac {c} {d}، \؛ \) ، أي: \ (a \ الكسر {ج} {د} = أ + \ فارك {ج} {د} \). الرقم \ (a \) يسمى الجزء الصحيح من الكسر المختلط ويسمى \ (\ frac {c} {d} \) الجزء الكسري.

متجانس. إذا كان لكسرين أو أكثر نفس المقام ، فيُقال إنهم مثل الكسور. على سبيل المثال ، الكسور \ (\ frac {3} {4} ، \) \ (\ frac {7} {4} ، \) \ (\ frac {1} {4} ، \) \ (\ frac {{ 10}} {4} \) متجانسة لأن جميعها لها نفس المقام ، وهو في هذه الحالة \ (4 \). بينما الكسور \ (\ frac {3} {4}، \) \ (\ frac {7} {4}، \) \ (\ frac {1} {4}، \) \ (\ frac {5} { 2} \) ليست كذلك كسور متجانسة حيث أن مقام \ (\ frac {5} {2} \) هو \ (2 \) ومقام الكسور الأخرى هو \ (4 \). تتمثل إحدى مزايا الكسور المتجانسة في أن العمليات الحسابية لجمع وطرح الوظائف بسيطة للغاية.

غير متجانسة. إذا كان هناك كسوران أو أكثر ، اثنان منهم على الأقل لا يحتويان على نفس المقام ، فيُقال إن هذه الكسور هي كسور غير متجانسة. الكسور التالية غير متجانسة: \ (\ frac {3} {5} ، \ ؛ \) \ (\ frac {7} {5} \) ، \ (\ frac {1} {4} ، \) \ (\ frac {2} {5} \).

وحدوي. يتم تحديد الكسر كوحدة إذا كان البسط يساوي 1 \ (1 ، \) \ (2 \). الكسور التالية هي أمثلة على كسور الوحدة: \ (\ frac {1} {2}، \؛ \) \ (\ frac {1} {3} \) ، \ (\ frac {1} {4} \) ، \ (\ ؛ \ فارك {1} {5} \).

التعبير اللفظي عن كسر مختلط

جزء مختلط	التعبير اللفظي
\ (3 \ فارك {1} {2} = \)	ثلاثة ونصف كامل
\ (5 \ فارك {3} {4} = \)	خمسة أعداد صحيحة وثلاثة أرباع
\ (10 ​​\ فارك {1} {8} = \)	عشرة أعداد صحيحة مع ثمانية

تحويل كسر مختلط إلى كسر غير فعلي

الكسور المختلطة مفيدة في التقدير ، على سبيل المثال ، من السهل تحديد:

\ (5 \ frac {1} {{20}}> 4 \ frac {9} {{10}} \)

ومع ذلك ، فإن الكسور المختلطة عادةً ما تكون غير عملية لإجراء عمليات مثل الضرب والقسمة ، ولهذا السبب من المهم كيفية التحويل إلى كسر مختلط.

يمثل الشكل السابق الكسر المختلط \ (2 \ frac {3} {4} \) ، والآن يتكون كل عدد صحيح من أربعة أرباع ، لذلك في رقمين صحيحين هناك ثمانية أرباع وعلينا إضافة الأرباع الثلاثة الأخرى ، أي يقول:

\ (2 \ frac {3} {4} = \ frac {{2 \ left (4 \ right) + 3}} {4} = \ frac {{11}} {4} \)

عمومًا:

\ (a \ frac {c} {d} = \ frac {{ad + c}} {d} \)

يوضح الجدول التالي أمثلة أخرى.

جزء مختلط	عمليات لأداء	جزء غير لائق
\ (3 \ فارك {1} {2} \)	\ (\ فارك {{3 \ يسار (2 \ يمين) + 1}} {2} \)	\ (\ فارك {7} {2} \)
\ (5 \ فارك {3} {4} \)	\ (\ فارك {{5 \ يسار (4 \ يمين) + 3}} {4} \)	\ (\ فارك {{23}} {4} \)
\ (10 ​​\ فارك {1} {8} \)	\ (\ فارك {{10 \ يسار (8 \ يمين) + 1}} {8} \)	\ (\ frac {{81}} {8} \)

تحويل كسر غير فعلي إلى كسر مختلط

لتحويل كسر غير فعلي إلى كسر مختلط ، احسب حاصل القسمة وباقي قسمة البسط على المقام. سيكون حاصل القسمة الذي تم الحصول عليه هو الجزء الصحيح من الكسر المختلط وسيكون الكسر المناسب \ (\ frac {{{\ rm {باقي}}}} {{{\ rm {القاسم}}}} \)

مثال

لتحويل \ (\ frac {{25}} {7} \) إلى كسر مختلط:

بالنسبة للعمليات التي يتم تنفيذها نحصل على:

يوضح الجدول أدناه أمثلة أخرى.

جزء غير لائق	حساب حاصل القسمة والباقي	جزء غير لائق
\ (\ frac {{25}} {7} \)		\ (3 \ فارك {4} {7} \)
\ (\ frac {{35}} {8} \)		\ (4 \ فارك {3} {8} \)
\ (\ فارك {{46}} {5} \)		\ (9 \ فارك {1} {5} \)

الاستخدام اليومي للكسور المختلطة والصحيحة

نحتاج في الحياة اليومية إلى القياس والشراء ومقارنة الأسعار وتقديم الخصومات ؛ للقياس ، نحتاج إلى وحدات قياس وهي لا تقدم دائمًا وحدات كاملة من المنتجات ولا تدفع دائمًا بكمية كاملة من العملات المعدنية للوحدة.

على سبيل المثال ، من الشائع بيع بعض السوائل في حاويات تكون محتوياتها \ (\ frac {3} {4} \؛ \) من لتر أو نصف جالون أو جالون ونصف. ربما عندما تذهب لشراء أنبوب تسأل عن \ (\ frac {1} {8}، \؛ \) \ (\ frac {7} {8}، {\ rm {\؛}} \) \ ({ \ rm {3}} \ frac {1} {2} \) ولست بحاجة إلى ذكر وحدة القياس ، وهي في هذه الحالة البوصة.

العمليات الأساسية للكسور المتشابهة

يتم تمثيل مجموع \ (\ frac {3} {4} \) و \ (\ frac {2} {4} \) في المخطط التالي:

\ (\ frac {3} {4} + \ frac {2} {4} = \ frac {{3 + 2}} {4} = \ frac {5} {4} \)

بينما يتم الطرح على النحو التالي:

\ (\ frac {3} {4} - \ frac {2} {4} = \ frac {{3 - 2}} {4} = \ frac {1} {4} \)

بشكل عام ، بالنسبة للكسور المتجانسة:

\ (\ frac {a} {d} + \ frac {b} {d} = \ frac {{a + b}} {d} \)

\ (\ frac {a} {d} - \ frac {b} {d} = \ frac {{a - b}} {d} \)

المصريون وكسور الوحدة

حققت الثقافة المصرية تطوراً تقنياً ملحوظاً ، ولم يكن هذا ليحدث بدون تطور على قدم المساواة مع الرياضيات. هناك آثار تاريخية حيث يمكنك العثور على سجلات لاستخدام الكسور في الثقافة المصرية ، مع وجود خصوصية ، فقد استخدموا الكسور الوحدوية فقط.

هناك العديد من الحالات التي يكون فيها كتابة الكسر كمجموع لكسور الوحدة أمرًا بسيطًا مثل

\ (\ frac {3} {n} = \ frac {1} {n} + \ frac {1} {{2n}} \)

في حالة \ (n = 2q + 1 \) ، أي غريب ، لدينا ما يلي:

\ (\ frac {2} {n} = \ frac {1} {{q + 1}} + \ frac {1} {{n \ left ({q + 1} \ right)}} \)

سوف نوضح هذا بمثالين.

للتعبير عن \ (\ frac {2} {{11}} \) ؛ في هذه الحالة لدينا \ (11 = 2 \ يسار (5 \ يمين) + 1 \) ، لذلك:

\ (\ frac {2} {{11}} = \ frac {1} {6} + \ frac {1} {{11 \ left (6 \ right)}}، \)

ذلك بالقول،

\ (\ frac {2} {{11}} = \ frac {1} {6} + \ frac {1} {{66}} \)

للتعبير عن \ (\ frac {2} {{17}} \) ؛ في هذه الحالة لدينا \ (17 = 2 \ يسار (8 \ يمين) + 1 \) ،

\ (\ frac {2} {{15}} = \ frac {1} {8} + \ frac {1} {{120}} \)

بعد ذلك ، نعرض بعض الكسور كمجموع لكسور الوحدة ،

جزء	التعبير كمجموع كسور الوحدة	جزء	التعبير كمجموع كسور الوحدة
\ (\ فارك {3} {n} \)	\ (\ frac {1} {n} + \ frac {1} {{2n}} \)	\ (\ فارك {5} {8} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} \)
\ (\ فارك {2} {3} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {6} \)	\ (\ فارك {7} {8} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} \)
\ (\ فارك {3} {4} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} \)	\ (\ فارك {2} {9} \)	\ (\ frac {1} {5} + \ frac {1} {{45}} \)
\ (\ فارك {3} {5} \)	\ (\ frac {1} {5} + \ frac {1} {{10}} \)	\ (\ فارك {5} {9} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {{18}} \)
\ (\ فارك {4} {5} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {{20}} \)	\ (\ فارك {7} {9} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {{36}} \)
\ (\ فارك {5} {6} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} \)	\ (\ فارك {8} {9} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {{18}} \)
\ (\ فارك {3} {7} \)	\ (\ frac {1} {3} + \ frac {1} {{11}} + \ frac {1} {{231}} \)	\ (\ فارك {4} {9} \)	\ (\ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} \)
\ (\ فارك {4} {7} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {{14}} \)	\ (\ فارك {5} {9} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {{18}} \)
\ (\ فارك {5} {7} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {{10}} \)	\ (\ فارك {5} {9} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {{18}} \)
\ (\ فارك {6} {7} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {{42}} \)	\ (\ frac {{19}} {{20}} \)	\ (\ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} \)

باستخدام الجدول السابق يمكننا جمع الكسور والتعبير عن هذه المبالغ ؛ كمجموع كسور الوحدة.

أمثلة على الكسور غير المتجانسة

مثال 1

\ (\ frac {2} {5} + \ frac {4} {9} = \ left ({\ frac {1} {3} + \ frac {1} {{15}}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {3} + \ frac {1} {9}} \ right) \)

\ (\ frac {2} {5} + \ frac {4} {9} = \ frac {2} {3} + \ frac {1} {{15}} + \ frac {1} {9} \)

\ (\ frac {2} {5} + \ frac {4} {9} = \ left ({\ frac {1} {2} + \ frac {1} {6}} \ right) + \ frac {1 } {{15}} + \ frac {1} {9} \)

مثال 2

\ (\ frac {4} {7} + \ frac {5} {9} = \ left ({\ frac {1} {2} + \ frac {1} {{14}}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {2} + \ frac {1} {{18}}} \ right) \)

\ (\ frac {2} {7} + \ frac {5} {9} = 1 + \ frac {1} {{14}} + \ frac {1} {{18}} \)

أخيرًا ، يمكننا التعبير عن نفس الكسر كمجموع كسور الوحدة بطريقة مختلفة كما يلي:

\ (\ frac {8} {{63}} = \ frac {1} {8} + \ frac {1} {{504}} \)

\ (\ frac {8} {{63}} = \ frac {1} {9} + \ frac {1} {{63}} \)

\ (\ frac {8} {{63}} = \ frac {1} {{14}} + \ frac {1} {{18}} \)